L'interazione minimale

Ci limiteremo per adesso ad introdurre l'interazione col campo elettromagnetico come interazione con un campo esterno, abbiamo esaminato la teoria relativistica dell'interazione di una particella col campo elettromagnetico al §1.6.1, ed abbiamo visto come per una particella di carica $e$ in interazione con un potenziale elettromagnetico $A^\mu(x)$ il momento coniugato fosse:

$$p^\mu=\pd{\cal L},{v_\mu}=mv^\mu+{e\over c} A^\mu(x) =p_{\rm cin.}^\mu+{e\over c} A^\mu(x)$$ (3.113)

questa è la cosiddetta interazione minimale, ed è la forma più semplice di schematizzazione dell'interazione del campo elettromagnetico con una particella puntiforme; si noti anche che inserendo $A^\mu(x)$ come campo esterno dato si trascurano ad esempio gli effetti dovuti alla presenza della particella carica in interazione.

La (2.113) ci permette di effettuare la quantizzazione con la (2.4), ma adesso $p^\mu$ non è più l'operatore corrispondente alla quantità di moto cinetica della particella, e quindi non potremo usare la relazione $p_\mu\gamma^\mu=mc$ (che deriva dalla relazione relativistica $p^2=m^2c^2$) che ci aveva permesso di scrivere l'equazione di Dirac per la particella libera, però questa varrà ancora per la parte cinetica del momento coniugato, allora se prendiamo:

$$p_{\rm cin.}^\mu=p^\mu-{e\over c} A^\mu(x)$$

per questo sarà ancora $p_{\rm cin.}^\mu\gamma_\mu=mc$ e quindi potremo scrivere l'equazione di Dirac nella forma:

$$\gamma^\mu\left(i\hbar{\partial{}\over \partial x^\mu}-\ec A_\mu(x)\right)\psi(x)=mc \psi(x)$$

che in forma compatta è:

$$\left( i\hbar \s{\partial} -\ec \s{A} - mc \right) \psi=0$$ (3.114)

L'invarianza di Lorentz di questa equazione, evidente a vista dato che $A^\mu(x)$ è un quadrivettore, si dimostra con l'esatto identico procedimento dello scorso capitolo, dato che $A_\mu(x)$ trasforma esattamente come $\partial_\mu$ per cui in quanto visto al §2.3.2 basta sostituire a quest'ultimo $\partial_\mu -e/c A_\mu$.

Da questa poi si può ottenere l'analoga per l'aggiunto; come per l'equazione libera si prende la coniugata hermitiana della (2.114):

$$-i\hbar{\partial{\psi^\dagger(x)}\over \partial x^\mu}(\gamma^\mu)^\dagger-\ec\psi^\dagger(x) (\gamma^\mu)^\dagger A_\mu(x) - mc \psi^\dagger(x)=0$$

(evidentemente $A^\mu(x)$ è reale e la coniugazione non gli fa nulla), qui si opera come al §2.3.4 usando l'espressione nota per $(\gamma^\mu)^\dagger$, e moltiplicando questa per $\gamma^0$ a destra (e cambiando segno) si ottiene:

$$i\hbar{\partial{\bar\psi}\over \partial x^\mu}\gamma^\mu+\ec \bar\psi A_\mu\gamma^\mu+mc \bar\psi=0$$

che si riscrive anche come:

$$\bar\psi\left( ih\ldes+\ec\s{A}+mc \right) = 0$$ (3.115)

dove con $\ldes$ si intende che le derivate devono essere applicate allo spinore a sinistra, mentre con $\rdes$ intenderemo la stessa cosa ma per lo spinore a destra (cioè le derivate standard, contenute ad esempio nella (2.114)).

Con l'equazione per l'aggiunto possiamo ricavare la quadricorrente col solito procedimento, si moltiplica la (2.115) a destra per $\psi$ e la (2.114) a sinistra per $\bar \psi$ e si sommano, in questo modo i termini nel potenziale e in $mc$ se ne vanno e resta solo:

$$i\hbar\left(\bar\psi\ldes\psi+\bar\psi\rdes\psi\right) = i\hbar \... ...u(\partial_\mu \psi) \right] = i\hbar\partial_\mu (\bar\psi\gamma^\mu\psi) = 0$$

dunque si riottiene la conservazione della quadricorrente $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ che è esattamente la stessa del caso di particella libera.

Quella che invece deve essere verificata è l'invarianza di gauge, bisogna infatti ricordarsi che $A_\mu(x)$ è sempre definito a meno di una trasformazione di gauge, per cui se prendiamo un altro potenziale:

$$A'_\mu(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu \varphi(x)$$

(con $\varphi(x)$ funzione qualsiasi) questo deve dare gli stessi risultati fisici del precedente. Usando $A'_\mu(x)$ l'equazione di Dirac diventa:

$$\left[ \gamma^\mu \left( i\hbar\partial_\mu -{e\over c} A'_\mu(... ...over c} A_\mu(x) -\ec\partial_\mu \varphi(x) \right) - mc \right] \psi'(x) = 0$$

adesso si tratta di trovare $\psi'(x)$ a partire da $\psi(x)$, allora osserviamo che se prendiamo:

$$\psi'(x)=\psi(x) e^{-\ih\ec \varphi(x)}$$ (3.116)

si vede subito che:

$$i\hbar\partial_\mu \psi'(x) = \left( i\hbar\partial_\mu \psi(x) +\ec\psi(x) \partial_\mu \varphi(x) \right) e^{-\ih\ec \varphi(x)}$$

per cui la precedente diventa:

$$\left[ \left( i\hbar\partial_\mu \psi(x) + \ec \psi(x)\partial_\... ...rtial_\mu \varphi(x) \right) - mc\psi(x) \right] e^{-\ih\ec \varphi(x)} = 0$$

che si riduce immediatamente a:

$$\left( i\hbar \s{\partial} -\ec \s{A}-mc \right) \psi e^{-\ih\ec \varphi(x)} =0$$

dunque la (2.116) è ancora soluzione dell'equazione di Dirac. Inoltre è banale verificare che anche la quadricorrente è invariante giacché il fattore di fase acquisito da $\psi$ viene annullato da quello, opposto, acquisito da $\bar \psi$. Questo ci dice anche, dato che tutte le quantità fisiche si possono esprimere tramite le forme bilineari del tipo $\bar \psi \Gamma_X\psi$ viste in §2.3.6 che l'invarianza di gauge è dimostrata in generale, e che le trasformazioni di gauge del sistema campo elettromagnetico/spinore sono date da:

$$\begin{cases} \psi(x)\to \psi(x) e^{-\ih\ec \varphi(x)}\cr A_\mu(x)\to A_\mu(x)+\partial_\mu \varphi(x)\cr \end{cases}$$