La costruzione di un'equazione relativistica

Per tentare di costruire un'equazione che combini invarianza relativistica e meccanica quantistica osserviamo che dal principio di corrispondenza e dall'equazione di Schroedinger si possono derivare le due relazioni:

e notiamo che queste si possono agevolmente riassumere in forma covariante come:

$$p^\mu\to i\hbar\partial^\mu$$ (3.4)

Nella meccanica quantistica classica l'equazione per una particella singola libera si ottiene partendo dalla espressione classica dell'energia:

$$E={p^2\over 2m}$$

sostituendo in questa gli operatori delle (2.3); in relatività però l'equazione che da l'energia è:

$$E=\sqrt{c^2 p^2+ m^2c^4}$$ (3.5)

e questa non la si può quantizzare così banalmente, perché nasce il problema dell'operatore radice quadrata. Esso infatti può essere definito solo come serie di potenze, e questo, comportando derivate spaziali di ogni ordine, da luogo ad un'equazione non locale, assolutamente intrattabile. Inoltre usando questa espressione si perderebbe completamente la simmetria fra tempo e spazio tipica della relatività.