I covarianti di Dirac

In generale le matrici $4\times 4$ possono essere espresse tramite una base di 16 matrici indipendenti; evidentemente le $\gamma ^\mu$ non coprono tutto lo spazio delle matrici $4\times 4$, e si può dimostrare che non lo fa neanche l'algebra da esse derivata, ma si possono comunque costruire con le $\gamma ^\mu$ 16 matrici indipendenti che risultano molto utili nelle applicazioni di calcolo e hanno proprietà di trasformazione ben definite.

La prima matrice che ci interessa è stata indicata, con una notazione un po' strana che resta in uso per motivi storici, come $\gamma^5$; essa è definita da:

$$\gamma^5=\gamma_5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$$ (3.48)

(l'indice non è covariante e non ha importanza dove lo si mette) se usiamo la rappresentazione di Dirac basta fare i conti per ottenere che:

$$\gamma^5= \begin{pmatrix}0&\un\cr \un& 0\cr \end{pmatrix}$$ (3.49)

una definizione equivalente che usa il tensore di Ricci (e ci fa capire meglio le proprietà di trasformazione) è:

$$\gamma^5={i\over 4!}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\gamma\gamma^\delta$$ (3.50)

l'equivalenza con la precedente definizione si verifica immediatamente, infatti se due indici qualsiasi delle $\gamma$ sono uguali il termine è nullo per via del tensore di Ricci, e nella somma restano solo i 4! termini con gli indici tutti diversi; ciascuno di essi però sarà una permutazione pari o dispari della sequenza fondamentale $\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ e ci si potrà riportare a questa con un numero pari o dispari di scambi grazie alle relazioni di anticommutazione, ma il segno meno che viene fuori per le permutazioni dispari viene annullato dall'analogo segno del tensore di Ricci, per cui alla fine tutti questi termini sono uguali, ed avendo diviso per 4! si riottiene la (2.48).

Dalla definizione si ottengono le proprietà di $\gamma^5$, è abbastanza facile verificare ad esempio, sempre attraverso le regole di anticommutazione, che:

$$(\gamma^5)^2=\un\qquad\hbox{e}\qquad (\gamma^5)^\dagger=\gamma^5$$ (3.51)

(per la seconda occorre anche la (2.21)), si tratta solo di fare un po' di conti usando l'espressione (2.48), stando attenti ai segni. Un'altra relazione è che:

$$\{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0$$ (3.52)

se lo scriviamo esplicitamente come $i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^\mu +i\gamma^\mu\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ si nota che, essendo una a destra e l'altra a sinistra, per portare $\gamma ^\mu$ a fianco della sua corrispettiva in ciascun addendo ci vorrà un numero di scambi pari per uno e dispari per l'altro o viceversa, per cui emerge una differenza di segno che cancella gli addendi divenuti uguali e dimostra la (2.52).

Una volta definita $\gamma^5$ si possono infine definire una serie di matrici indipendenti che possano essere usata come base per lo spazio delle matrici $4\times 4$, queste matrici sono dette covarianti di Dirac, e la lro definizione è:

$$\begin{cases}\Gamma_S=\un& scalare \cr \Gamma_V^\mu=\gamma^\m... ...5\gamma^\mu& pseudovettoriale (vettore assiale) \cr \end{cases}$$ (3.53)

Vediamo allora perché queste matrici, che indicheremo genericamente con $\Gamma_X$, sono dette covarianti di Dirac; sappiamo infatti che si può parlare di covarianza solo per enti come scalari, vettori, tensori le cui componenti sono quantità numeriche ma non matrici; vedremo che in realtà quello che ha le proprietà di trasformazione riportate nella tabella in (2.53) non è tanto la singola $\Gamma$ quanto le forme bilineari negli spinori $\bar \psi \Gamma_X\psi$ che si possono costruire a partire da esse.

Si tratterà allora di studiare le proprietà di trasformazione di queste forme bilineari verificando che esse corrispondano a quelle riportate nella (2.53); al §2.3.4 abbiamo trovato le proprietà di trasformazione degli spinori che sono:

$$\psi'=S(\Lambda)\psi \ee \bar\psi'=\bar\psi S^{-1}(\Lambda)$$

allora è immediato verificare il carattere scalare di $\Gamma_S$ dato che:

$$\bar\psi' \Gamma_S\psi'=\bar \psi'\psi'=\bar\psi S^{-1}(\Lambda) S(\Lambda)\psi=\bar\psi \psi=\bar\psi \Gamma_S \psi$$

mentre il carattere vettoriale di $\Gamma_V^\mu$ lo abbiamo già visto al §2.3.4 per la quadricorrente; il procedimento per $\Gamma_T^{\mu\nu}$ è lo stesso solo con un po' più di conti:

$$\bar\psi' \Gamma_T^{\mu\nu}\psi'= \bar \psi'\sigma^{\mu\nu}\psi'=... ...}\bar \psi (S^{-1}\gamma^\mu\gamma^\nu S - S^{-1}\gamma^\nu\gamma^\mu S) \psi$$

in questa poi si può inserire il prodotto $SS^{-1}$ fra la $\gamma$ ottenendo:

$$\bar\psi' \Gamma_T^{\mu\nu}\psi'= {i\over 2}\bar\psi (S^{-1}\gamma^\mu SS^{-1}\gamma^\nu S - S^{-1}\gamma^\nu SS^{-1}\gamma^\mu S) \psi$$

ed usare per ciascun $S^{-1}\gamma S$ la (2.25) ottenendo:

$$\bar\psi' \Gamma_T^{\mu\nu}\psi'= {i\over 2}\bar \psi (\Lambda^\... ...Lambda^\nu_{\ \delta} \gamma^\delta \Lambda^\mu_{\ \gamma} \gamma^\gamma )\psi$$

ma dato che le somme sui diversi addendi sono indipendenti e gli indici ripetuti sono qualunque questa si può raccogliere $\Lambda^\mu_{\ \alpha}$ e $\Lambda^\nu_{\ \beta}$ ponendo $\alpha=\delta$ e $\beta=\gamma$, per cui si ha:

$$\bar \psi' \Gamma_T^{\mu\nu}\psi'= {i\over 2}\bar \psi \Lambda^\... ...ambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} \bar\psi\Gamma_T^{\alpha\beta}\psi$$

che è quanto si voleva dimostrare.

Restano da esaminare le ultime due, per farlo però bisogna chiarire cosa significano pseudoscalare e pseudovettoriale, per questo basta ricordare quanto visto al §1.1.2 quando si sono definite le densità tensoriali: uno pseudoscalare è una quantità che trasforma come l'elemento di volume, cioè una densità scalare di peso 1, mentre uno pseudovettore è una densità vettoriale, sempre di peso 1, sono cioè due quantità che oltre alla normale trasformazione acquisiscono a fattore lo jacobiano $\det \Lambda$.

Vediamo allora cosa succede con $\Gamma_P$; partiamo dalla definizione in (2.53) usando per $\gamma^5$ l'espressione (2.50); allora si avrà:

$$\bar\psi' \Gamma_P\psi'=\bar\psi' \gamma^5 \psi'= \bar\psi S^{-1}... ...\beta\gamma\delta} \gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\gamma\gamma^\delta ) S\psi$$

adesso si inseriscono le solite $SS^{-1}$ fra le $\gamma$ e sempre usando la (2.25) si ottiene:

$$\bar \psi' \Gamma_P\psi'=\bar \psi' \gamma^5 \psi'= \bar \psi \le... ...a\beta\gamma\delta}] \gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma \right) \psi$$

e adesso possiamo usare per la parte in parentesi quadra la proprietà fondamentale del tensore di Ricci (1.28) vista al §1.1.2, ottenendo alla fine:

$$\bar\psi' \gamma^5 \psi'= \bar\psi \left({i\over 4!} \det\Lambda ... ...ma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma \right) \psi= \det\Lambda \bar\psi\gamma^5 \psi$$

e quindi questo è uno pseudoscalare. Vista questa è immediato ottenere l'analoga anche per $\Gamma^\mu_A$ dato che:

$$\bar\psi' \Gamma_A^\mu\psi'=\bar \psi S^{-1}\gamma^5\gamma^\mu S\psi= \bar\psi S^{-1}\gamma^5 S S^{-1}\gamma^\mu S\psi$$

e adesso per ciascun pezzo possiamo usare quanto già ottenuto per cui alla fine:

$$\bar\psi' \Gamma_A^\mu\psi'=\det\Lambda \,\Lambda^\mu_{\ \nu} \bar\psi \Gamma_A^\nu\psi$$

riassumendo si ha che:

Le $\Gamma_X$ godono di una serie di proprietà importanti che però non staremo a dimostrare per intero; è però importante notare che a parte la presenza di un fattore $i$ immaginario in alcune di esse possono essere raggruppate in maniera naturale secondo la seguente tabella (vedi [Mes]):

Table 2.1: Tabella delle matrici di Dirac

Matrice		Forma esplicita
di Dirac		$(\gamma_A)^2=1$	$(\gamma_A)^2=-1$ (S)

dove con la notazione $\gamma^{[\mu\nu\ldots]}$ intenderemo il prodotto di una, due, tre o quattro $\gamma ^\mu$ con indici diversi; è banale osservare che queste altro non sono che le componenti delle $\Gamma_X$ di (2.54); ma usando questa tabella è molto più facile ottenere le proprietà generale delle $\Gamma_X$ che sono:

La proprietà 1) la abbiamo già vista per $\Gamma_S$, $\Gamma_P$ e $\Gamma_V$; in ogni caso guardando alle singoli componenti di 2.1 si vede subito che qualunque sia il quadrato scelto si avranno sempre due matrici uguali per ciascun indice diverso, che con un opportuno numero di anticommutazioni (da cui il segno) potranno essere poste a fianco e quindi semplificate fino ad arrivare $\pm\un$.

La proprietà 2) la abbiamo già vista per le $\Gamma_V$ e $\Gamma_P$, per le altre basta notare che per le $\gamma^{[\mu\nu\rho]}$ si può scegliere la opportuna $\gamma ^\mu$ in modo da avere un prodotto con quattro indici diversi, ed idem fra le $\gamma^{[\mu\nu]}$ e poi facendo le opportune anticommutazioni si ha la proprietà.

La proprietà 3) si ricava dalle due precedenti; infatti data $\Gamma_X$ sia $\Gamma_Y$ quella che anticommuta, allora si avrà che:

$$\tr(\Gamma_X)=\pm \tr(\Gamma_X\Gamma_Y^2)=\pm\tr(\Gamma_Y\Gamma_X\Gamma_Y)= \mp\tr(\Gamma_Y^2\Gamma_X)=-\tr(\Gamma_X)$$

dove il primo passaggio è per la proprietà 1) il secondo per la proprietà ciclica della traccia il terzo per la proprietà 2) ed il quarto tornando indietro con la 1).

La proprietà 4) si capisce subito notando che qualunque sia il prodotto con un opportuno numero di anticommutazioni si può sempre eliminare le eventuali $\gamma ^\mu$ doppie ritornando, eventualmente con un segno opposto, ad un'altra delle matrici di tab. 2.1 facendo i conti effettivi si vede anche che con la scelta di (2.54) il segno è sempre positivo.

La proprietà 5) invece si dimostra con le precedenti; consideriamo che sia:

$$\sum_{n=1}^{16} a_n\Gamma_n=0$$

e moltiplichiamo questa per una qualunque $\Gamma_m$ prendendo poi la traccia; per la linearità si ottiene che:

$$\tr(\Gamma_m\sum_n a_n\Gamma_n)=\sum_n a_n \tr(\Gamma_m\Gamma_n)=0$$

ma per la proprietà 4) se $m\ne n$ il prodotto $\Gamma_m\Gamma_n$ ci da una $\Gamma_l$ la cui traccia, per la proprietà 3) è nulla; allora nella traccia resta solo il termine in $\Gamma_m^2$ la cui traccia per la 1) è $\pm 4 a_m$ dunque deve essere $a_m=0$, questo vale per tutti gli $m$ dunque si è dimostrato che le $\Gamma$ sono linearmente indipendenti.

Ci sono poi ulteriori relazioni interessanti concernenti queste matrici, la prima è:

$$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\sigma_{\rho\sigma}=2i\gamma^5\sigma^{... ...\qquad \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\sigma^{\rho\sigma}=2i\gamma^5\sigma_{\mu\nu}$$ (3.55)

che è importante e ci servirà in seguito, la dimostrazione è piuttosto facile anche se noiosa, perché basta verificarla per componenti, scrivendosi tutto in termini delle $\gamma ^\mu$ ed usando le proprietà delle $\sigma_{\mu\nu}$ e del tensore di Ricci; la seconda relazione invece è:

$$[\gamma^5,\sigma^{\mu\nu}]=0$$ (3.56)

dalla proprietà di anticommutazione con le $\gamma ^\mu$ segue infatti che:

$$\gamma^\nu \{\gamma^5,\gamma^\mu\}=\gamma^\nu\gamma^5\gamma^\mu+ ... ...\gamma^\mu\gamma^5=\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^5- \gamma^5\gamma^\nu\gamma^\mu=0$$

dunque $[\gamma^5,\gamma^\nu\gamma^\mu]=0$ per cui vale anche la (2.56); da essa segue poi che per trasformazioni di Lorentz proprie vale anche:

$$[\gamma^5,S(\Lambda)]=0$$

in quanto $S(\Lambda)$ è funzione delle $\sigma^{\mu\nu}$; nel caso della parità dall'espressione ottenuta al paragrafo precedente si ha invece che:

$$P\gamma^5=-\gamma^5 P$$

infine possiamo avere le espressioni per i coniugati hermitiani di $\Gamma_P$ e $\Gamma_A^\mu$ che, con le solite regole di commutazione e la (2.21) sono:

$$(\Gamma_P)^\dagger =-\gamma^0\gamma^5\gamma^0=-\gamma^0\Gamma_P\g... ...^\mu)^\dagger= \gamma^0\gamma^5\gamma^\mu\gamma^0=\gamma^0\Gamma_A^\mu\gamma^0$$