Formulazione lagrangiana del moto di una particella libera

La formulazione lagrangiana della meccanica relativistica si costruisce per analogia con la meccanica classica; il punto di partenza è sempre il principio di minima azione; in meccanica classica l'azione è definita a partire dalla lagrangiana del sistema $L$, che in generale è funzione solo delle coordinate $q$ e delle loro derivate $\dot q$ (il moto è completamente determinato dalla posizione e dalla velocità iniziale) come:

$$S=\int^{t_2}_{t_1} L(q,\dot q,t)dt$$ (2.96)

e dal principio di minima azione si ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange:^2.4

$${d{}\over dt}\left(\pd{L},{\dot q}\right) -\pd{L},{q}=0$$ (2.97)

che sono le equazioni del moto.

La lagrangiana di una particella libera poi si può ottenere con considerazioni del tutto generali (vedi sempre [LDL]) dall'isotropia dello spazio e del tempo e dal principio di relatività galileiana, come:

$$L={1\over 2} mv^2$$

Come si vede tutte queste espressioni non sono Lorentz-invarianti, e si tratta dunque di trovarne delle opportune estensioni. Prendiamo allora come punto di partenza il principio di minima azione, se questo deve continuare a valere si ha che $S$ deve essere uno scalare, dato che le equazioni del moto derivano dalla condizione di estremo su di essa.

Con l'assunto che l'azione sia invariante, dalla (1.96) siamo allora in grado di ricavare le proprietà di trasformazione della lagrangiana $L$; introducendo $d\tau=\gamma dt$ infatti otteniamo che:

$$S=\int^{\tau_2}_{\tau_1} \gamma Ld\tau$$ (2.98)

e siccome $d\tau$ è invariante otteniamo che lo è pure $\gamma L$; adesso se vogliamo ottenere la lagrangiana di una particella libera ancora una volta, per l'omogeneità dello spazio-tempo questo non potrà dipendere dalle coordinate, ma solo dalla velocità, ma l'unica funzione invariante della quadrivelocità è $v^\mu v_\mu=c^2$, per cui alla fine avremo che:

$$\gamma L=\alpha c^2\quad\hbox{cioè}\qquad L=\alpha c^2 \sqrt{1-{v^2\over c^2}}$$

il confronto col precedente limite classico determina $\alpha$ e ci da:

$$L=-m_0c^2 \sqrt{1-{v^2\over c^2}}$$ (2.99)

e si può verificare che questa, con le (1.97), da la corretta equazione del moto per una particella libera:

$${d{}\over dt}(\gamma m_0 {\bf v})=0$$

inoltre si può verificare che con questa lagrangiana si riottengono i valori dell'impulso e dell'energia trovati al §1.3.1 con le definizioni:

$${\bf p}=\pd{L},{\bf v}\qquad\hbox{e}\qquad E={\bf p}\cdot{\bf v}-L$$

Dalla (1.99) si può inoltre ottenere l'espressione dell'azione per una particella libera; sostituendo nella (1.98) si ha:

$$S=- m_0 c^2\int^{\tau_2}_{\tau_1} d\tau = -m_0 c \int ds$$

Resta però aperto il problema di esprimere le equazioni del moto in forma covariante a vista, e di ottenere il quadrimpulso come un opportuno momento coniugato. Un modo per farlo è introdurre come lagrangiana relativistica invariante:

$${\cal L}= \gamma L$$

che a questo punto viene pensata funzione delle coordinate $x^\mu$ e della quadrivelocità $v^\mu$, cioè ${\cal L}={\cal L}(x^\mu,v^\mu)$; l'azione allora si esprime come:

$$S=\int^{\tau_2}_{\tau_1} {\cal L}(x^\mu,v^\mu) d\tau$$ (2.100)

ed un'estensione covariante a vista delle (1.97) può essere:

$${d{}\over d\tau} \left(\pd{\cal L},{v^\mu}\right) ={\partial{\cal L}\over \partial x^\mu}$$ (2.101)

ottenere questa però è tutt'altro che banale; si noti anzitutto che queste sono, nel caso di una particella, quattro equazioni contro le tre precedenti; il problema è che se usa la (1.100) col caso noto di una particella libera per la quale:

$${\cal L}=-mc^2=-mv_\mu v^\mu=-m g_{\mu\nu}v^\nu v^\mu$$

quando si va a fare il calcolo variazionale per avere l'equazione del moto si deve tenere conto del vincolo $v_\mu v^\mu=c^2$, che equivalentemente si può esprimere come:

$$v_\mu {\partial{v^\mu}\over \partial t}=0$$

per cui non tutte le componenti della (1.101) sono indipendenti.

Una forma equivalente della (1.101) si può ottenere esprimendo la (1.100) in funzione di $ds$ (che nel caso di una particella libera ci dice semplicemente che per il principio di minima azione una particella in moto tende a seguire le geodetiche) in tal caso applicando il principio variazionale si ha:

$${d\over ds} \left(\pd{\cal L},{u^\mu}\right) ={\partial{\cal L}\over \partial x^\mu}$$

dove $u^\mu=dx^\mu /ds$. Infine si può ottenere l'espressione del quadrimpulso come momento coniugato se prendiamo:

$$p_\mu=\pd{\cal L},{v^\mu}$$