Gli stati ad energia positiva e negativa

Abbiamo trovato dunque che anche con l'equazione di Dirac si riottengono le grane dovute alla presenza di soluzioni ad energia negativa; questo è un grosso problema, infatti anche se pure in meccanica relativistica classica si avevano le due radici, quella negativa la si poteva sempre scartare, perché una particella che avesse energia positiva avrebbe comunque mantenuto anche da ferma un'energia positiva pari alla sua massa di riposo, non potendo saltare il gap energetico fra $mc^2$ e $-mc^2$; in meccanica quantistica però le variazioni di energia possono essere discontinue, e una particella tende sempre a fare una transizione da uno stato di energia superiore ad uno ad energia inferiore; e quindi il passaggio agli stati ad energia negativa sarebbe immediato, e non solo non si potrebbero più eliminare questi stati, ma tutte le particelle dovrebbero decadere verso di essi e da essi giù giù verso $-\infty$. Ovviamente tutto ciò non è accettabile, e si è trovato una soluzione a questo solo considerando gli stati ad energia negativa come antiparticelle grazie all'ipotesi del mare di Dirac, la realtà comunque è che in meccanica quantistica relativistica il concetto di particella singola porta a dei paradossi e che si può fare una trattazione coerente solo con la teoria dei campi.

Abbiamo visto prima come gli spinori nella forma (2.70) siano autostati dell'operatore quadrimpulso, e come $k^\mu$, autovalore corrispondente, sia il valore del quadrimpulso di detti stati; questo però non è del tutto corretto; infatti con la (2.70) otteniamo dei $k^\mu$ con $k_0<0$, ed in tal caso non sarà più immediato considerare $k^\mu$ come il quadrimpulso di una particella.

Vedremo più avanti che si possono reinterpretare gli stati ad energia negativa come antiparticelle; se però vogliamo dare a $k^\mu$ il significato di un quadrimpulso dovremo imporre che sia sempre $k_0>0$ (questo ci sarà molto utile in seguito); questo però comporta che la (2.70) non va più bene per gli stati ad energia negativa; per questo si preferisce sostituirla con due definizioni separate, una per gli stati ad energia positiva, ed una, cambiando segno all'esponenziale, per gli stati ad energia negativa:

$$\begin{aligned} \psi^{(+)}(x)&=e^{-\ih k\cdot x}u(k)\qquad ... ...t x}v(k) \qquad\hbox{(stati a energia negativa)} \end{aligned}$$

Adesso possiamo vedere cosa ci da l'equazione di Dirac applicata a questi spinori; usiamo l'espressione (2.20) con la notazione di Feynmann, è immediato ottenere che dalla definizione precedente segue:

(basta eseguire il calcolo, semplificare gli esponenziali e cambiare segno nella seconda).

Per risolvere queste equazioni, considerando il caso di una particella dotata di massa, ci mettiamo nel sistema solidale nel quale $k^\mu=(mc,0)$ ed esse si riducono a:

$$\begin{aligned} (\gamma^0-\un)u(mc,0)=0\\ (\gamma^0+\un)v(mc,0)=0 \end{aligned}$$

queste sono ancora equazioni omogenee, bisogna scartare le soluzioni banali $u=v=0$ ed andare a cercare quelle non banali; si trovano così in ambedue i casi due soluzioni indipendenti. La soluzione, nella rappresentazione di Dirac dove $\gamma^0$ è diagonale, è immediata e si ottiene:

$$u^{(1)}(mc,0)= \begin{pmatrix}1\cr 0\cr 0\cr 0\cr \end{pmatrix}, ... ...pmatrix}, \quad v^{(2)}(mc,0)= \begin{pmatrix}0\cr 0\cr 0\cr 1\cr \end{pmatrix}$$ (3.77)

Queste sono le soluzioni nel sistema solidale, dove la particella è ferma; per ottenere le soluzioni per un moto qualsiasi basterà fare un boost di Lorentz su queste ad una velocità ${\bf v}={\bf k}/k_0$ utilizzando le proprietà di trasformazione per ottenere lo spinore desiderato. Fare i conti con le matrici di trasformazione però è scomodo, perché bisogna usare $S(\Lambda)$ nella forma generica (2.34), che è un esponenziale di matrici, il che comporta un calcolo molto complesso con delle serie di potenze. C'è però un metodo molto più semplice; cominciamo con lo scriverci il prodotto:

$$(\s{k}-mc)(\s{k}+mc) = (\s{k}+mc) (\s{k}-mc) = \s{k}^2-m^2c^2$$

adesso però:

$$\s{k}^2=k_\mu\gamma^\mu k_\nu\gamma^\nu =k_\mu k_\nu \gamma^\mu\gamma^\nu$$

ma qui $k_\mu k_\nu$ è simmetrico nello scambio degli indici (sono numeri), mentre $\gamma^\mu\gamma^\nu$ no; questo ci dice che nel prodotto la parte antisimmetrica di $\gamma^\mu\gamma^\nu$ non da comunque un contributo; sarà cioè:

$$\s{k}^2=k_\mu k_\nu \left( \half[\gamma^\mu,\gamma^\nu]+\half \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\right)= \half \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} k_\mu k_\nu$$

ma dalle regole di commutazione si sa che $\half \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=g^{\mu\nu}$ per cui alla fine si ottiene:

$$\s{k}^2=g^{\mu\nu} k_\mu k_\nu=k^2$$ (3.78)

e questa vale in generale per qualsiasi vettore $k^\mu$ le cui componenti siano numeri o quantità qualunque che commutano fra di loro. Se torniamo allora all'espressione del prodotto da cui eravamo partiti, con questa si ottiene che:

$$(\s{k}-mc) (\s{k}+mc)=(\s{k}+mc)(\s{k}-mc)=k^2-m^2c^2=0$$ (3.79)

adesso sfruttando questa relazione possiamo ottere le espressioni generiche degli spinori autostati dell'impulso, soluzioni delle (2.76); consideriamo infatti gli spinori:

per la (2.79) queste soddisfano evidentemente le (2.76) e sono indipendenti essendolo $u^{(\alpha)}(mc,0)$ e $v^{(\alpha)}(mc,0)$, resta comunque un problema, le (2.76) sono equazioni omogenee e dunque questi sono definiti a meno di una costante moltiplicativa arbitraria; per eliminare questa ambiguità (o meglio per ridurla solo ad un fattore di fase) si normalizzano gli spinori, e se in partenza $u^{(\alpha)}(mc,0)$ e $v^{(\alpha)}(mc,0)$ sono normalizzati non è detto che lo siano anche questi.

Vediamo anzitutto come effettuare la normalizzazione; evidentemente per non dannarsi l'anima conviene effettuarla in maniera covariante, in modo che resti la stessa in tutti i sistemi inerziali; allora dato che sappiamo che $\bar \psi \psi$ è invariante converrà imporre la normalizzazione su $\bar u u$ e $\bar v v$ lasciando perdere per ora le questioni relative all'interpretazione probabilistica. Essendo invariante si può normalizzare nel sistema solidale usando le soluzioni (2.77) che abbiamo trovato; presa la definizione (2.40) degli aggiunti, è banale verificare con un po' di conti che:

$$\begin{aligned} &\bar u^{(\alpha)}(mc,0) u^{(\beta)}(mc,0)=... ...beta)}(mc,0)=0 \cr \end{aligned}\qquad \qquad \alpha,\beta=1,2$$

si noti anche come, pur avendo usato la rappresentazione di Dirac per ottenere le (2.77), questa relazione resta comunque valida in ogni rappresentazione. Allora dato che gli spinori per un impulso qualsiasi si ottengono da questi con una trasformazione di Lorentz, e che queste relazioni sono invarianti, scriveremo in generale che la condizione di normalizzazione degli spinori è:

$$\begin{aligned}&\bar u^{(\alpha)}(k) u^{(\beta)}(k)=\delta_{\... ...a)}(k)=0\cr \end{aligned} \qquad \qquad \qquad \alpha,\beta=1,2$$

qualunque sia il valore di $k$ (si noti che la normalizzazione dei $v$ è negativa; questa è una conseguenza della metrica non euclidea).

Adesso bisognerà verificare se gli spinori costruiti con le (2.80) soddisfano effettivamente queste relazioni. Calcoliamoci allora le norme, per $u^{(\alpha)}(k)$ sarà:

$$\begin{aligned} \bar u'^{(\alpha)}(k) u'^{(\beta)}(k) &= \ba... ...(\alpha)}(mc,0) (\s{k}+mc)^2 u^{(\beta)}(mc,0)\cr \end{aligned}$$

mentre per $v^{(\alpha)}(mc,0)$ sarà:

$$\begin{aligned} \bar v'^{(\alpha)}(k) v'^{(\beta)}(k) &= \ba... ...(\alpha)}(mc,0) (\s{k}-mc)^2 v^{(\beta)}(mc,0)\cr \end{aligned}$$

ma evidentemente, sfruttando la (2.78) e la (2.79) si avrà:

$$\begin{aligned}&(\s{k}+mc)^2=k^2+2mc\s{k}+m^2c^2=2mc(\s{k}+mc... ...\s{k}-mc)^2=k^2-2mc\s{k}+m^2c^2=-2mc(\s{k}-mc)\cr \end{aligned}$$

adesso però consideriamo che dalle espressioni (2.77) è immediato verificare che:

questo comporta, sfruttando le regole di anticommutazione, che:

$$\begin{aligned} \bar u^{(\alpha)}(mc,0) \gamma^k u^{(\beta)... ...v^{(\alpha)}(mc,0) \gamma^k v^{(\beta)}(mc,0)\\ \end{aligned}$$

per cui si ha:

$$\bar u^{(\alpha)}(mc,0) \gamma^k u^{(\beta)}(mc,0)=0 \ee \bar v^{(\alpha)}(mc,0) \gamma^k v^{(\beta)}(mc,0)=0$$

così alla fine si ottiene che:

$$\begin{aligned} &\bar u'^{(\alpha)}(k) u'^{(\beta)}(k)= \ba... ...ha)}(mc,0)[2mc(mc-k_0\gamma^0)] v^{(\beta)}(mc,0) \end{aligned}$$

adesso in questa si può ancora riutilizzare la (2.83) per assorbire $\gamma^0$ e si ottengono così le espressioni finali:

$$\begin{aligned} &\bar u'^{(\alpha)}(k) u'^{(\beta)}(k)=2mc(... ...mc+k_0) \bar v^{(\alpha)}(mc,0) v^{(\beta)}(mc,0) \end{aligned}$$

da cui segue che:

$$\begin{aligned} &\bar u'^{(\alpha)}(k) u'^{(\beta)}(k)=2m(m... ...) v'^{(\beta)}(k)=-2m(mc^2+E)\delta_{\alpha\beta} \end{aligned}$$

e quindi gli spinori definiti in (2.80) non sono normalizzati, però possiamo definire i nuovi spinori:

ed i corrispondenti aggiunti:

e questi, per quanto visto prima, sono normalizzati secondo le (2.81). Con queste possiamo anche ottenere le espressioni esplicite nella rappresentazione di Dirac svolgendo i conti, stando allora attenti ai segni del prodotto scalare di $\s{k}$ si può verificare che per gli $u(p)$ è:

$$\begin{equation}u^{(1)}(p)={1\over\sqrt{2m(mc^2+E)}} \begin{pmatr... ...\begin{pmatrix}p_1 - ip_2\cr -p_3\cr 0\cr p_0+mc\cr \end{pmatrix}\end{equation}$$

Questi spinori soddisfano le relazioni di ortonormalità; si possono però ottenere da essi anche le relazioni di completezza, consideriamo infatti che, sempre con le espressioni che abbiamo trovato, si ha:

$$\sum_{\alpha=1}^2 \left[ u^{(\alpha)}(mc,0)\bar u^{(\alpha)}(mc,0) - v^{(\alpha)}(mc,0)\bar v^{(\alpha)}(mc,0) \right] = \un$$

(il prodotto è inteso nel senso di colonna per riga, come prodotto tensoriale), ma al solito potendo andare da questi a quelli generici con un boost di Lorentz è banale verificare che vale anche:

$$\sum_{\alpha=1}^2 \left[ u^{(\alpha)}(k)\bar u^{(\alpha)}(k)- v^{(\alpha)}(k)\bar v^{(\alpha)}(k) \right] = \un$$ (3.87)