Le proprietà delle matrici $\gamma ^\mu$

Data la (2.18) si tratta di far vedere che effettivamente si può considerare l'indice $\mu$ delle $\gamma ^\mu$ come un indice covariante; se usiamo la rappresentazione di Dirac (2.13) vista in precedenza possiamo immediatamente esprimere le $\gamma ^\mu$ come:

$$\gamma^i= \begin{pmatrix}0&\sigma_i\\ -\sigma_i& 0\\ \end{pmatrix} \qquad \gamma^0= \begin{pmatrix}\un& 0\cr 0&-\un\cr \end{pmatrix}$$ (3.19)

e dato un qualsiasi quadrivettore $A_\mu$ si introduce una notazione dovuta a Feynmann (slash di Feynmann) indicando con $\s A$ il prodotto scalare:

$$\s A=\gamma^\mu A_\mu=\gamma^0 A_0 -\boldsymbol{\gamma}{\bf A}$$

così la (2.18) diventa:

$$(i\hbar \s \partial -mc)\psi = 0$$ (3.20)

e l'identità operatoriale analoga alla (2.4) è $\s p = mc$.

Le proprietà delle $\gamma ^\mu$ si ricavano dalla loro definizione in termini di $\beta$ e delle $\alpha_i$ dalle proprietà di quest'ultime; abbiamo già visto che $\gamma^0=\beta$ è hermitiana, mentre per le altre si ha che:

$$(\gamma^i)^\dagger=(\beta \alpha_i)^\dagger= \alpha_i^\dagger\beta^\dagger=\alpha_i\beta$$

ma dalle regole di anticommutazione segue che $\alpha_i\beta=-\beta\alpha_i$ per cui alla fine si ottiene che:

$$(\gamma^i)^\dagger=-\gamma^i\ee (\gamma^0)^\dagger=\gamma^0$$

quindi le $\gamma^i$ sono antihermitiane; dalla precedente, dato che $\beta^2=\un$, si ottiene anche che:

$$(\gamma^i)^\dagger= \alpha_i \beta =\beta^2\alpha_i\beta= \beta (\beta\alpha_i) \beta =\gamma^0\gamma^i\gamma^0$$

e dato che questo vale evidentemente anche per $\gamma^0$ in definitiva si possono riassumere le precedenti in:

$$(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$$ (3.21)

Le proprietà di anticommutazione, che definiscono l'algebra delle $\gamma ^\mu$, si ottengono ancora dalle analoghe per $\beta$ e $\alpha_i$; cominciamo col calcolare:

$$\{\gamma^0,\gamma^j\}=\gamma^0\gamma^j+\gamma^j\gamma^0= \beta (\beta\alpha_i) + (\beta\alpha_i) \beta$$

qui si può anticommutare $\beta$ e $\alpha_i$ nel secondo membro, ottenendo immediatamente:

$$\{\gamma^0,\gamma^j\}=\beta\beta\alpha_i-\beta\beta\alpha_i=0$$

prendiamo poi:

$$\{\gamma^i,\gamma^j\}=\gamma^i\gamma^j+\gamma^j\gamma^i= \beta\alpha_i \beta\alpha_j + \beta\alpha_j \beta\alpha_i$$

qui si può anticommutare la parte centrale di entrambi gli addendi ottenendo:

$$\{\gamma^i,\gamma^j\}=\gamma^i\gamma^j+\gamma^j\gamma^i= -\beta^2(\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i)=0$$

infine è immediato che $(\gamma^0)^2=\un$, mentre si ha:

$$(\gamma^i)^2=\beta\alpha_i\beta\alpha_i=-\beta^2 \alpha_i^2= -\un$$

(si noti che non si è usata l'espressione esplicita delle $\gamma ^\mu$ dato che queste relazioni sono del tutto generali e valide per qualsiasi rappresentazione); in definitiva si possono riassumere le proprietà di anticommutazione usando il tensore metrico nell'unica relazione:

$$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}\un$$ (3.22)

Infine, come per me matrici $\beta$ ed $\alpha_i$, anche per le $\gamma ^\mu$ si possono ottenere altre rappresentazioni diverse dalla (2.19) attraverso delle trasformazioni unitarie; si può però dimostrare (non staremo a farlo) anche l'inverso, e cioè che qualsiasi rappresentazione può essere ottenuta dalla rappresentazione di Dirac tramite una trasformazione unitaria.