I proiettori su stati di quadrimpulso e spin definito

Avendo trovato le soluzioni in onda piana con le trasformate di Fourier potremo esprimere in generale una soluzione qualsiasi come sovrapposizione di stati puri di quadrimpulso; prima di farlo però conviene analizzare meglio il significato degli spinori $u^{(\alpha)}(k)$ e $v^{(\alpha)}(k)$, cercando anche una relazione con lo spin.

Un primo passo da fare è quello di definire i proiettori relativi a questi stati a quadrimpulso definito; in analogia al caso della meccanica quantistica classica in cui il proiettore su uno stato $\ket{\psi}$ è $\ket{\psi}\bra{\psi}$ potremo scrivere il proiettore $\Lambda_+(k)$ su uno stato ad energia positiva di quadrimpulso $k$ come:

$$\begin{equation}\Lambda_+(k) = \sum_{\alpha=1}^2 u^{(\alpha)}(k) ... ...}^2 v^{(\alpha)}(k) \bar v^{(\alpha)}(k)\end{equation}<tex2html_comment_mark>43$$

le (2.88) ci mostrano subito le proprietà di proiettore sugli $u(k)$ di $\Lambda_+(k)$ e sui $v(k)$ di $\Lambda_-(k)$, non sono però una forma molto comoda da usare nei conti e per questo si cerca una espressione più agevole; utilizzandole possiamo scrivere:

$$\begin{aligned} \Lambda_+(k)&= {1\over 2m(mc^2+E)} (mc+\s{k... ...(mc,0)\bar v^{(\alpha)}(mc,0) \right] (mc-\s{k}) \end{aligned}$$

ma dalle espressioni degli $u^{(\alpha)}(mc,0)$ e dei $v^{(\alpha)}(mc,0)$ si può verificare banalmente che:

$$\begin{aligned} &\sum_{\alpha=1}^2 u^{(\alpha)}(mc,0)\bar u... ... 0 &\un\cr \end{pmatrix} = {1-\gamma^0\over 2} \end{aligned}$$

dunque sostituendo nelle precedenti si ha:

$$\begin{aligned} \Lambda_+(k)&= {1\over 2m(mc^2+E)} \left[... ...{k})^2+(mc-\s{k}) \gamma^0 (mc-\s{k}) \right]\cr \end{aligned}$$

adesso per entrambe il primo addendo in parentesi quadra lo abbiamo dalle (2.82), resta il secondo che possiamo sviluppare come:

$$\begin{aligned} (mc\pm\s{k}) \gamma^0 (mc+\pm\s{k})&= \s{... ...^0 \pm mc\{\gamma^0,\s{k}\} + m^2c^2\gamma^0\cr \end{aligned}$$

adesso però $\s{k}\s{k}=\s{k}^2=k^2=m^2c^2$ ed il secondo addendo si annulla con l'ultimo, mentre si può raccogliere l'anticommutatore ottenendo:

$$(mc\pm \s{k}) \gamma^0 (mc\pm\s{k})= (\s{k}\pm mc) \{\gamma^0,\s{k}\}$$

ma adesso dalle regole di anticommutazione si ha che:

$$\{\gamma^0,\s{k}\} = k_\mu\{\gamma^0,\gamma^\mu \} = 2 k_\mu g^{0\mu}=2k_0 = {2E\over c}$$

dunque alla fine:

$$(mc\pm\s{k}) \gamma^0(mc\pm\s{k}) = {2E\over c} (mc\pm\s{k})$$

allora sostituendo questa nelle precedenti espressioni per $\Lambda_\pm(k)$ ed usando anche le (2.82) si ottiene che:

$$\begin{aligned} \Lambda_+(k) &= {1\over 4m(mc^2+E)} \left... ...2+E)} \left[2(mc-\s{k})(mc+{E\over c})\right]\cr \end{aligned}$$

dalle quali è immediato ottenere, con un po' di semplificazioni, le espressioni definitive per i proiettori:

Un modo molto più rapido per ottenere questi risultati è quello di sfruttare il fatto che gli spinori $u^{(\alpha)}(k)$ e $v^{(\alpha)}(k)$ sono una base nello spazio $4\times 1$ degli spinori, per cui possiamo applicare il teorema che dice che se due operatori danno lo stesso risultato applicati ad una base dello spazio vettoriale su cui operano allora sono lo stesso operatore; dalla definizione in (2.88), grazie alle relazioni di normalizzazione (2.81), si ha:

$$\begin{equation}\Lambda_+(k):\quad \begin{cases}\Lambda_+(k)u^{(\... ...0\cr \Lambda_-(k) v^{(\alpha)}(k)=v^{(\alpha)}(k)\cr \end{cases} \end{equation}$$

ma adesso notiamo che dalle equazioni per gli spinori (2.76) si ottiene che:

$$\begin{aligned} {\s{k}\over mc}u^{(\alpha)}(k)&=u^{(\alpha)... ...{k}\over mc}v^{(\alpha)}(k)&=-v^{(\alpha)}(k)\cr \end{aligned}$$

e con queste è banale verificare che le espressioni (2.89) soddisfano le (2.90) e sono quindi gli operatori di proiezione.

Le espressioni in (2.89) sono molto comode per verificare le varie proprietà degli operatori di proiezione; la prima è la proprietà di base di tutti i proiettori e cioè l'idempotenza:

$$\Lambda_\pm(k)^2=\Lambda_\pm(k)$$

la cosa si verifica subito con le espressioni (2.89) usando le (2.82); infatti:

$$\begin{aligned} \Lambda_+(k)^2 &= {(mc+\s{k})^2\over 4m^2c... ...2c^2} = {(mc-\s{k})\over 2mc} = \Lambda_-(k)\cr \end{aligned}$$

la seconda proprietà ci dice che questi proiettori sono ortogonali, cioè si ha che:

$$\Lambda_+(k) \Lambda_-(k) = \Lambda_-(k)\Lambda_+(k) = 0$$

anche questa si ottiene dalle (2.89); consideriamo la prima, si avrà:

$$\Lambda_+(k) \Lambda_-(k) = {(mc+\s{k})\over 2mc}{(mc-\s{k})\over 2mc} = {(m^2c^2-\s{k}^2)\over 4m^2c^2} = {(m^2c^2-m^2c^2)\over 4m^2c^2} = 0$$

e allo stesso modo si ottiene che $\Lambda_-(k)\Lambda_+(k)=0$. Dato poi che le $\gamma ^\mu$ sono a traccia nulla si ottiene anche che:

$$\tr\Lambda_\pm(k) = {mc\over 2mc}\tr(\un)\pm k_\mu \tr(\gamma^\mu) = 2$$

infine se prendiamo le espressioni originali dei proiettori in termini degli spinori è immediato verificare la proprietà di completezza, cioè che:

$$\Lambda_+(k) + \Lambda_-(k) = \un$$

ma altrettanto si ottiene con le (2.89) dato che:

$$\Lambda_+(k) + \Lambda_-(k) = {(mc+\s{k})\over 2mc}+{(mc-\s{k})\over 2mc} = {2mc\over 2mc} = \un$$

Abbiamo così trovato le espressioni e le proprietà dei proiettori sugli stati di impulso definito ad energia positiva e negativa; ci resta da caratterizzare l'ulteriore degenerazione degli spinori, che abbiamo visto essere strettamente legata alla presenza di un momento angolare intrinseco: in sostanza vogliamo trovare i proiettori per gli stati in cui è definito anche lo spin.

Consideriamo allora il vettore di Pauli-Lubansky, nel nostro caso, avendo preso spinori ad impulso definito, avremo che $P^\mu=k^\mu$, per cui si ottiene subito che:

$$W_\mu=-{1\over 4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}{k^\sigma \sigma^{\nu\rho}\over mc}$$

sappiamo però che questo è un vettore ortogonale a $k^\mu$ (abbiamo visto in §2.3.7 che $W_\mu P^\mu=0$) allora se cerchiamo un direzione per il momento angolare intrinseco possiamo prendere un versore $n^\nu$ ortogonale a $k^\mu$ e space-like, cioè tale che:

$$n\cdot n=-1\quad(n^\mu n_\mu=1)\quad\ee n\cdot k=0\quad(n^\mu k_\mu=0)$$

e con questo potremo caratterizzare lo spin con la proiezione lungo una qualsiasi delle direzioni che può prendere utilizzando (in maniera analoga al $\sigma_z$ o al $\boldsymbol{\sigma}\cdot{\bf u}$ della meccanica classica) la componente:

$$W\cdot n = -{1\over 4} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}{\sigma^{\nu\r... ...1\over 4} \epsilon_{\mu\sigma\nu\rho}{\sigma^{\nu\rho} k^\sigma n^\mu\over mc}$$

(il passaggio si fa sfruttando le proprietà del tensore di Ricci) adesso possiamo sfruttare la seconda delle (2.55) per assorbire il tensore di Ricci ottenendo che:

$$W\cdot n = {i\over 2} \gamma^5\sigma^{\mu\nu}{n^\mu k^\nu \over mc}$$

(si è cambiato nome agli indici) consideriamo però che:

$$\gamma^\mu\gamma^\nu=\half \{\gamma^\mu,\gamma^\nu \}+\half [\gamma^\mu,\gamma^\nu]=g^{\mu\nu}-i\sigma^{\mu\nu}$$ (3.91)

(si sono usate la definizione di $\sigma^{\mu\nu}$ e le relazioni di anticommutazione) per cui si può riscrivere la precedente come:

$$W\cdot n={i\over 2} \gamma^5 [ i(\gamma^\mu\gamma^\nu-g^{\mu\nu})] {n^\mu k^\nu \over mc}$$

ma adesso il termine in $g^{\mu\nu}$ ci da $n\cdot k=0$ per cui resta:

$$W\cdot n = -\half \gamma^5 \s{n} {\s{k} \over mc}$$ (3.92)

calcoliamo allora il valore di questa proiezione su uno dei nostri spinori ad impulso definito, usando la relazione (2.76) si verifica immediatamente che:

$$\begin{aligned}(W\cdot n) u(k) &=-\half \gamma^5 \s{n} u(k) \cr (W\cdot n) v(k) &= \half \gamma^5 \s{n} v(k) \cr \end{aligned}$$

Ma adesso, dato che $(W\cdot n)$ è uno scalare, lo possiamo calcolare dove ci pare, ed il risultato sarà lo stesso; allora scegliamo di fare il calcolo nel sistema solidale, e per semplificare i conti consideriamo il caso in cui $n$ è il versore che punta lungo l'asse $z$, cioè sia $n=n_3=(0,{\bf n}_z)=(0,0,0,1)$ che è evidentemente ortogonale a $k=k^\mu=(mc,0)$ . In questo caso abbiamo visto in §2.3.7 il valore del vettore di Pauli-Lubansky è dato dalla (2.69); per cui il valore del prodotto scalare è banalmente:

$$(W\cdot n_3) = W_\mu n^\mu = (0, -\half \boldsymbol{\Sigma}) \cdot(0,{\bf n}_z) = - \Sigma_z$$

e se usiamo le espressioni (2.68) che avevamo trovato per $\boldsymbol{\Sigma}$, applicandole alle soluzioni nel sistema solidale (2.77) è banale verificare che si ottiene:

$$\begin{aligned} (W\cdot n_3) u^{(\alpha)}(mc,0) &= \half ... ... &= \half (-1)^{(\alpha)} v^{(\alpha)}(mc,0) \cr \end{aligned}$$

(dove si è usato il termine $(-1)^{(\alpha)}$ per assorbire il segno meno di $\Sigma_z$ e tener conto automaticamente del cambiamento di segno al variare di $\alpha$ dovuto dalla definizione della matrice di Pauli $\sigma_z$) cioè le nostre soluzioni di (2.77) sono anche autostati di spin.

Ma dato che $(W\cdot n_3)$ è invariante, questa varrà anche in tutti gli altri sistemi di riferimento, in cui la particella ha impulso $k$ generico, per cui se $n$ è il trasformato di $n_3$ avremo anche che:

per cui, dal confronto di questa con la (2.93), otterremo che, se $n$ è il versore che nel sistema di riferimento solidale è orientato lungo l'asse $z$, si ha:

Con queste ultime relazioni viene naturale definire il proiettore sugli stati a spin definito come:

$$P(n)=\half(\un+\gamma^5\s{n})$$ (3.96)

dove $n$ può anche essere un versore generico. In futuro comunque, dato che può essere usata come osservabile indipendente solo la proiezione lungo una direzione dello spin, daremo sempre per sottinteso che $n$ è presa nella direzione che corrisponde all'asse $z$ del sistema di riferimento solidale con la particella.

Se ci ricordiamo che i nostri spinori sono una base per lo spazio degli spinori, possiamo vedere l'effetto su di essi di questo proiettore; usando le (2.95) è immediato ottenere che:

$$\begin{equation}P(n): \quad \begin{cases}P(n) u^{(1)}(k) = u^{(1)... ...(-n) v^{(1)}(k)= v^{(1)}(k)\cr P(-n) v^{(2)}(k)= 0\cr \end{cases}\end{equation}$$

Con queste definizioni si possono allora caratterizzare i vari spinori della nostra base in maniera alternativa come $u^{(1)}(k)=u(k,n)$, $u^{(2)}(k)=u(k,-n)$, $v^{(1)}(k)=v(k,-n)$, $v^{(2)}(k)=v(k,n)$ e talvolta si dice anche che $P(n)$ proietta sugli stati a spin up (perchè quello stato ha ha autovalore 1/2 per $W\cdot n$) per gli stati ad energia positiva e sugli stati a spin down per gli stati a energia negativa.

In realtà questa classificazione è impropria, infatti anche se le (2.94) ci permettono di definire quali sono gli stati di spin rispetto alla direzione $z$ nel sistema solidale, parlare di spin up o spin down cosa non immediato perché, avendo a che fare anche con spinori a norma negativa come i $v^{(\alpha)}(k)$, gli autovalori di $W\cdot n$, non corrispondono direttamente alle osservabili fisiche. Occorre ricordare infatti che queste ultime sono date in generale dal prodotto $\bar\psi{\cal O}\psi$ (con ${\cal O}$ che esprime l'osservabile) perché è questa la quantità che, espresso $\cal O$ in termini dei covarianti di Dirac $\Gamma$ visti in §2.3.6, trasforma correttamente.

Nel nostro caso allora ${\cal O}=W\cdot n$, e per $=W\cdot n$ possiamo usare la (2.93). Con quella possiamo calcolare $\bar\psi{\cal O}\psi$ per ciascuno dei nostri spinori usando le (2.95). In tal caso però otterremo, dato che secondo le (2.81) è $\bar v^{(\alpha)}(k) v^{(\alpha)}(k)=-1$ che il valore della proiezione dello spin $W\cdot n$ è $1/2$ per $v^{(1)}(k)$ e $-1/2$ per $v^{(2)}(k)$, cioè l'opposto degli autovalori dell'operatore.

Si noti che la definizione (2.96) è in forma covariante, ed è molto più comoda perché può essere tranquillamente estesa ad un $n$ qualunque, nel qual caso $P(n)$ sarà il proiettore sullo stato di spin orientato nella direzione tale che nel sistema solidale esso avrà $(\boldsymbol{\sigma}\cdot {\bf n})/2=1/2$.

Adesso possiamo verificare le proprietà di $P(n)$ anche per $n$ qualsiasi; anzitutto si può dimostrarne l'idempotenza, cioè che è:

$$P(n)^2=P(n)$$

infatti scritto esplicitamente si ha:

$$P(n)^2={1\over 4}(\un +\gamma^5\s{n})(\un +\gamma^5\s{n})= {1\over 4}\big(\un +2\gamma^5\s{n}+(\gamma^5\s{n})^2\big)$$

ma dato che le $\gamma ^\mu$ e $\gamma^5$ anticommutano si ottiene subito che:

$$(\gamma^5\s{n})^2=\gamma^5\s{n}\gamma^5\s{n}=-\gamma^5\gamma^5\s{n}\s{n}= -(\gamma^5)^2 (\s{n})^2$$

ma adesso sappiamo che $(\gamma^5)^2=\un$ mentre abbiamo visto anche che $\s{n}^2=n^2=-1$ per cui $(\gamma^5\s{n})^2=\un$ per cui alla fine si ha:

$$P(n)^2={1\over 4}\big(2\un +2\gamma^5\s{n})=\half(\un+\gamma^5\s{n})=P(n)$$

la seconda proprietà di questi proiettori è che sono ortogonali, cioè che:

$$P(n) P(-n) = 0$$

infatti svolgendo i conti questa diventa:

$$P(n)P(-n) = {1\over 4}(\un +\gamma^5\s{n})(\un -\gamma^5\s{n}) = {1\over 4}\big(\un-(\gamma^5 \s{n})^2 \big)$$

e per quanto visto prima per cui $(\gamma^5\s{n})^2=\un$ si ottiene subito che questo è nullo; infine è assolutamente banale ottenere la proprietà di completezza, cioè che:

$$P(n) + P(-n) = \un$$

Le proprietà più interessanti di $P(n)$ sono comunque quelle che lo legano ai due proiettori sugli stati ad energia positiva e negativa $\Lambda_\pm(k)$; si infatti si hanno le relazioni:

si tratta di dimostrare queste proprietà; cominciamo dalla prima; da quanto visto sappiamo che:

$$[P(n),\Lambda_\pm(k)] = \left[ \left( {mc\pm\s{k}\over 2mc} \r... ...(\un+\gamma^5\s{n}) \right) \right] = \pm {1\over 4mc} [\s{k},\gamma^5\s{n}]$$

(si sono scartati tutti i termini banalmente commutanti); adesso possiamo sfruttare la proprietà generale dei commutatori:

$$\begin{aligned} \left[A, B C \right] &= [A,B]C + B[A,C] \cr &= \{ A,B \}C - B\{ A,C \} \cr \end{aligned}$$

nel nostro caso conviene usare gli anticommutatori, per cui la precedente diventa:

$$[P(n),\Lambda_\pm(k)]=\pm {1\over 4mc}\left( \{ \s{k},\gamma^5 \}\s{n}- \gamma^5 \{ \s{k},\s{n}\}\right)$$

ma $\gamma^5$ e le $\gamma ^\mu$ anticommutano ed il primo addendo si elimina, mentre per il secondo si può considerare che:

$$\{ \s{k},\s{n}\} = k_\mu n_\nu \{ \gamma^\mu,\gamma^\nu \} = 2 k_\mu n_\nu g^{\mu\nu} = 2 k\cdot n$$ (3.99)

che vale assolutamente in generale qualunque siano $k$ e $n$, ma nel nostro caso sappiamo che $k\cdot n=0$ per cui anche il secondo addendo della precedente si annulla e la (2.98a) è dimostrata.

La dimostrazione della (2.98b) si ottiene facilmente se usiamo le proprietà di completezza dei vari proiettori, infatti si avrà:

$$\begin{aligned} &\Lambda_+(k)P(n) +\Lambda_+(k)P(-n) +\Lambd... ... + P(-n)) =\cr &\Lambda_+(k) + \Lambda_-(k) = \un \end{aligned}$$

Per dimostrare la (2.98c) possiamo scriverci esplicitamente la traccia come:

$$\begin{aligned} \tr\left( \Lambda_\pm(k)P(\pm n) \right) ... ...5\s{n} \pm {1\over 4mc} tr\s{k}\gamma^5\s{n}\cr \end{aligned}$$

ma adesso $\s{k}=k_\mu\Gamma_V^\mu$ e $\gamma^5\s{n}=n_\mu \Gamma_A^\mu$ dunque il primo ed il secondo addendo sono nulli per la proprietà 3) delle $\Gamma$ (che hanno tutte, tranne $\un$, traccia nulla) mentre il terzo è nella forma $\Gamma_V\Gamma_A$ allora per la proprietà 4) questa è ancora una $\Gamma$ diversa da $\un$ e quindi anche questo è a traccia nulla; resta così solo il primo addendo che dimostra banalmente la (2.98c). Allo stesso modo si può dimostrare che:

$$\tr P(\pm n)=2$$

Adesso con questi proiettori, tenendo conto delle (2.98) si possono definire dei nuovi spinori, autostati di $P(\pm n)$ e $\Lambda_\pm(k)$, e base dello spazio degli spinori, che soddisfino relazioni di ortonormalità e completezza analoghe a quelle ottenute in precedenza, e questo con $n$ direzione qualsiasi, e non il trasformato di $n_3$ come per gli $u^{(\alpha)}(k)$ e i $v^{(\alpha)}(k)$; detti spinori sono definiti dalle relazioni:

$$\begin{aligned} &P(n) u(k,n) = u(k,n)\cr &P(n) v(k,n) = v... ... n)\cr &\Lambda_-(k) v(k,\pm n) = v(k,\pm n)\cr \end{aligned}$$

In tutti i sistemi di riferimento c'è poi una scelta particolare $n_k$ di $n$ tale che la parte spaziale n di $n$ è parallela alla parte spaziale k di $k$ in quel riferimento; se prendiamo infatti il versore:

$$n_k=\left( {\vert{\bf k}\vert\over mc},{k_0{\bf k}\over mc\vert{\bf k}\vert} \right)$$

si può verificare subito che:

$$n_k^2 = {\vert{\bf k}\vert\over m^2c^2}^2 - {k_0^2 ({\bf k}\cdot... ...r m^2c^2\vert{\bf k}\vert^2} = {1\over m^2c^2}(\vert{\bf k}\vert^2-k_0^2) = -1$$

inoltre si ha banalmente:

$$n_k\cdot k = {k_0\vert{\bf k}\vert\over mc}-{k_0^2({\bf k}\cdot{\... ...\left(\vert{\bf k}\vert-{{\bf k}\cdot{\bf k}\over \vert{\bf k}\vert}\right) =0$$

quindi $n_k$ soddisfa le condizioni richieste.

Con questo particolare versore $n_k$ la polarizzazione $W\cdot n_k$ è chiamata elicità, ed assume un significato particolare, risultando essere la proiezione dello spin tridimensionale lungo la direzione del moto della particella; usando le definizioni date si ottiene che:

$$\begin{aligned} W\cdot n_k &= -\half \gamma^5 \s{n}_k {\s{... ...vert}(\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf k})^2 \right) \end{aligned}$$

adesso però, dato che $\s{k}^2=k^2$, è immediato ottenere che $(\boldsymbol{\gamma}\cdot {\bf k})^2=-\vert{\bf k}\vert^2$ dunque il primo e l'ultimo termine si semplificano e raccogliendo un $mc$ a divisore resta:

$$W\cdot n_k\ = -{1\over 2 m^2 c^2}\gamma^5 \left( -{k_0^2\over\ve... ...f k}\vert} - \vert{\bf k}\vert \right) \gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf k}$$

dove per l'ultimo passaggio si è anticommutato $\gamma^0$ e $\boldsymbol{\gamma}$; adesso si può sostituire a $k_0^2=m^2c^2 + \vert{\bf k}\vert^2$ ottenendo:

$$W\cdot n_k = -{1\over 2 m^2 c^2}\gamma^5 \left( {m^2c^2 + \vert{\... ...\half \gamma^5\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf k}{1\over\vert{\bf k}\vert}$$

dalla quale, ricordando che $\boldsymbol{\Sigma}=\gamma^5\gamma^0\boldsymbol{\gamma}$ si ottiene la definitiva:

$$W\cdot n_k=-{\boldsymbol{\Sigma}\cdot{\bf k}\over 2\vert{\bf k}\vert}$$

per cui l'elicità $h$, che si può definire come la proiezione dello spin sulla direzione del moto è:

$$h={\boldsymbol{\Sigma}\cdot{\bf k}\over 2\vert{\bf k}\vert}=-W\cdot n_k$$ (3.100)

e questa ci mostra subito che $h$ è un invariante. Si può poi verificare immediatamente che il proiettore:

$$P(n_k) = \half \left( \un\pm {\boldsymbol{\Sigma}\cdot{\bf k}\over \vert{\bf k}\vert} \right)$$

dove il segno $+$ è per le soluzioni ad energia positiva ed il segno $-$ per le soluzioni ad energia negativa) proietta sulle soluzioni ad energia positiva con elicità positiva e sulle soluzioni ad energia negativa con elicità negativa.