Gli spinori di particella libera

Il metodo di soluzione è quello di usare le trasformate di Fourier, che permettono di trasformare l'equazione differenziale in un'equazione algebrica; pertanto si cercano le soluzioni in forma di onda piana:

$$\psi(x)=e^{-\ih k\cdot x}w(k)=e^{-\ih k^\mu x_\mu}w(k)= e^{\ih({\bf k}\cdot{\bf x}-Et)}w(k)$$ (3.70)

dove tutta la dipendenza dalle coordinate $x$ è stata inserita nell'esponenziale, mentre $w(k)$ è uno spinore costante.

Con questa definizione possiamo vedere che $k^\mu$ viene ad assumere il significato di quadrimpulso della particella; dall'equazione di Klein-Gordon otteniamo infatti banalmente, sostituendovi lo spinore dato dalla (2.70), la relazione di Einstein $k^2=m^2c^2$, inoltre se applichiamo alla (2.70) l'operatore quadrimpulso (2.64) si ha:

$$P^\mu\psi(x)=i\hbar\partial^\mu \left(e^{-\ih k\cdot x}w(k)\right)= k^\mu\left(e^{-\ih k\cdot x}w(k)\right)=k^\mu\psi(x)$$

quindi la (2.70) è un autostato dell'operatore quadrimpulso, con autovalore $k^\mu$, la (2.70) quindi descrive gli stati ad impulso definito e l'identificazione di $k^\mu$ col quadrimpulso sembra corretta.

Il problema nasce quando andiamo a risolvere la (2.18) esplicitamente, e ritroviamo, come nel caso quasi statico, soluzioni con energia negativa; vediamo allora come si ottiene questo risultato; scriviamo al posto di $k^\mu$ il vettore $p^\mu=(E/c,{\bf p})$, dall'equazione di Dirac si ha:

$$Ew(p)\left(e^{\ih({\bf p}\cdot{\bf x}-Et)} \right) =k_i\alpha_i w... ...x}-Et)} \right)+ mc^2 \beta w(p) \left(e^{\ih({\bf p}\cdot{\bf x}-Et)} \right)$$

(la si è usata questa forma per comodità); adesso l'esponenziale resta a fattore e si può semplificare; così, portando tutto a secondo membro si ha:

$$-{E\over c}w(p)+k_i\alpha_i w(p)+mc \beta w(p)=0$$

che è il sistema di equazioni che ci permette di determinare le componenti di $w(p)$; se usiamo la rappresentazione di Dirac è abbastanza semplice trovare:

$$\begin{cases}\left(-{E\over c}+mc\right)w_{(1)}(p)+p_3 w_{(3)... ...(2)}(p) -\left({E\over c}+mc\right) w_{(4)}(p)=0\cr \end{cases}$$ (3.71)

dove abbiamo indicato con $w_{(i)}(p)$ le singole componenti degli spinori (mettendo l'indice della componente fra parentesi per non confonderlo con gli altri indici covarianti); questo è un sistema omogeneo, e per avere soluzioni non banali occorre imporre che il determinante sia nullo; allora posto:

$$p_\pm=p_1\pm ip_2$$

questa condizione è:

$$\left\Vert \begin{matrix} -{\displaystyle E\over \displaystyle c}... ...3 & 0 & -{\displaystyle E\over\displaystyle c}-mc\cr \end{matrix}\right\Vert=0$$

questo si calcola al solito modo, e senza stare a fare i conti si ottiene che:

$$\left({E^2\over c^2}-m^2 c^2-{\bf p}^2\right)=0$$

che ha due soluzioni indipendenti:

$$E=\pm\sqrt{m^2 c^4-{\bf p}^2c^2}$$

questo ci dice che per ogni valore di $E$ solo due delle quattro equazioni del sistema sono indipendenti; allora potremo fissare arbitrariamente il valore di due delle quattro componenti di $w(p)$ (con la sola condizione di prendere soluzioni indipendenti) e con quel che resta del sistema determinare le altre due componenti e definire la soluzione.

Troviamo allora l'espressione esplicita dello spinore; cominciamo con il caso $E>0$; qui conviene prendere come condizioni $w_{(1)}=A$, $w_{(2)}=0$ e $w_{(1)}=0$, $w_{(2)}=A$, dato che in tal caso $E+mc^2$ è sicuramente positivo e diverso da zero, e lo si può dividere nelle ultime due equazioni del sistema (2.71) ottenendo:

$$w_{(1)}=A\quad,\quad w_{(2)}=0\quad,\quad w_{(3)}=A{cp_3\over E+mc^2} \quad,\quad w_{(4)}=A{c(p_1+ip_2)\over E+mc^2}$$ (3.72)

$$w_{(1)}=0\quad,\quad w_{(2)}=A\quad,\quad w_{(3)}=A{c(p_1-ip_2)\over E+mc^2}\quad,\quad w_{(4)}=-A{cp_3\over E+mc^2}$$ (3.73)

se invece $E<0$ ci conviene prendere $w_{(3)}=B$, $w_{(4)}=0$ e $w_{(3)}=0$, $w_{(4)}=B$ ed usare le prime due dividendo per $E-mc^2$ che è sicuramente negativo e diverso da zero; si ottengono così le altre due soluzioni:

$$w_{(1)}=B{cp_3\over E-mc^2} \quad,\quad w_{(2)}=B{c(p_1+ip_2)\over E-mc^2} \quad,\quad w_{(3)}=B\quad,\quad w_{(4)}=0\quad,\quad$$ (3.74)

$$w_{(1)}=B{c(p_1-ip_2)\over E-mc^2} \quad,\quad w_{(2)}=-B{cp_3\over E-mc^2} \quad,\quad w_{(3)}=0\quad,\quad w_{(4)}=B\quad,\quad$$ (3.75)

e riassumendo il tutto si scriverà:

$$w_1(p) =A \begin{pmatrix}1\cr 0\cr {\displaystyle cp_3\over\displaystyle... ...}\cr -{\displaystyle c p_3\over\displaystyle E+mc^2}\cr \end{pmatrix}\cr w_3(p) =B \begin{pmatrix}{\displaystyle c p_3\over\displaystyle E-mc^2}\... ...\cr -{\displaystyle c p_3\over \displaystyle E-mc^2}\cr 0\cr 1\cr \end{pmatrix}$$

tenendo presente che per i primi due $E>0$ e per i secondi $E<0$; si noti anche come questi si riducano immediatamente all'espressione non relativistica del §2.2.2 per $v\ll c$.

Un ultimo calcolo è quello della determinazione dei coefficienti $A$ e $B$ che possono essere stabiliti (l'equazione è omogenea) solo dando una normalizzazione per gli spinori; se chiediamo ad esempio che sia $w^\dagger w=1$ (che è solo una delle normalizzazioni possibili) otterremo che:

$$A=B=\left({2E_+\over E_+ +mc^2}\right)^{-1/2}$$

dove $E_+=\vert E\vert$ (non stiamo a fare i conti).