Il campo elettromagnetico.

Il primo caso a cui vogliamo applicare quanto visto nei precedenti paragrafi è quella di una teoria di campo ben nota classicamente come quella dell'elettromagnetismo; si tratterà di farne emergere la trattazione col metodo della teoria dei campi relativistica appena mostrato.

Vediamo allora come sviluppare una trattazione lagrangiana relativistica completa del campo elettromagnetico. Al §1.4 abbiamo già visto come si esprimono in forma covariante le equazioni di Maxwell nel sistema di Gauss, per la teoria dei campi però è più utile il sistema di Heaviside-Lorentz in cui esse si semplificano in:

$$\begin{aligned} &\nabla \cdot {\bf E} = \rho \cr &\nabla \times ... ... \left( {\bf J} + {\partial{\bf E}\over \partial t} \right) \cr \end{aligned}$$

partendo dalla stessa espressione (1.76) per il tensore elettromagnetico $F_{\mu\nu}$ con un procedimento identico possiamo ottenere da queste equazioni classiche la corrispondente espressione in forma relativistica, che è:

$$\div F^{\mu\nu}=\partial_\mu F^{\mu\nu}={1\over c} j^\nu\ee \rot F^{\mu\nu}=\div{\cal F}^{\mu\nu}=0$$

dove ${\cal F}^{\mu\nu}$ è il duale del tensore elettromagnetico, definito secondo la (1.29), già introdotto anche nella formulazione relativistica dell'elettromagnetismo svolta in §1.4.

A queste va aggiunta la conservazione della carica si esprime ancora con l'equazione di continuità $\partial_\mu j^\mu=0$. Come già detto queste equazioni covarianti esprimono l'invarianza relativistica delle leggi dell'elettromagnetismo: due importanti invarianti connessi col campo elettromagnetico, che si ottengono immediatamente dalle contrazioni del tensore elettromagnetico, sono allora:

$$\begin{aligned} & F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = - {\cal F}_{\mu\... ...{\cal F}^{\mu\nu} = -4 {\bf E} \cdot {\bf B} \cr \end{aligned}$$

per esprimere le leggi dell'elettromagnetismo nei termini di una teoria del campo elettromagnetico ci occorre allora individuare quali sono le variabili di configurazione e la lagrangiana.

Ad un primo approccio sembrerebbe naturale usare come variabili di configurazione i campi ${\bf E}({\bf x}, t)$ e ${\bf B}({\bf x}, t)$, ma le equazioni di Maxwell, che dovremmo riottenere dalla teoria, sono del primo ordine, mentre le equazioni di Eulero del §4.2 sono del secondo ordine, inoltre in un tal modo otterremmo anche grosse difficoltà a far emergere in modo naturale la covarianza del procedimento.

Per questo motivo si introduce il quadripotenziale $A^\mu$ col quale si possono trasformare le equazioni di Maxwell del primo ordine in un insieme di equazioni equivalenti del secondo ordine; abbiamo già visto che i campi si possono esprimere nella forma:

$$F^{\mu\nu} =\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$$ (5.23)

ed in prossimità di un punto, preso come origine, si può esprimere il quadripotenziale come:

$$A^\mu (x) = - \int_0^1 \lambda F^{\mu\nu} (\lambda x) x_\nu d\lambda$$

sappiamo poi che il quadripotenziale non è definito univocamente, ma a meno di un gradiente di una qualsiasi funzione, il che permette di definire le trasformazioni di gauge come:

$$A^\mu (x) \to A^\mu (x) +\partial^\mu \phi(x)$$

usando la divergenza del tensore elettromagnetico, dalla definizione (4.23), si può ottenere l'equazione per il quadripotenziale che è equivalente alle equazioni di Maxwell; si ha:

$$\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu) = \partial_\... ...ial_\mu \partial^\mu A^\nu-\partial^\nu \partial_\mu A^\mu = {1 \over c} j^\nu$$

che si scrive in forma compatta come:

$$\delamb A^\nu-\partial^\nu (\partial\cdot A)={1 \over c} j^\nu$$ (5.24)

che è manifestamente invariante per trasformazioni di gauge, come si può verificare con una sostituzione.

L'arbitrarietà connessa alla scelta della condizione di gauge permette allora di semplificare enormemente i calcoli, ma in certi casi può anche distruggere la covarianza manifesta delle equazioni; se scriviamo esplicitamente la (4.24) otteniamo:

$$\begin{aligned} \rho &= \delamb \varphi-{\partial{}\over \... ...ver \partial t}+\nabla\cdot{\bf\bf A} \right) \cr \end{aligned}$$

che sono piuttosto complicate, per cui la scelta di una opportuna condizione di gauge può essere di grande aiuto.

Consideriamo come esempio l'uso della gauge di Poisson ( $\nabla\cdot{\bf\bf A}=0$); essa permette di eliminare ogni derivata rispetto al tempo dalla prima di queste due equazioni, che diventa così un vincolo indipendente dal tempo, e permette di determinare il potenziale come:

$$\phi=\int {d^3x' \over 4\pi} {\rho(x',t)\over \vert{\bf x}-{\bf x}'\vert}$$

per cui poi solo il potenziale vettore viene ad obbedire ad una equazione delle onde che è:

$$\delamb {\bf A} = {1\over c}{\bf J} - \nabla\int {d^3x' \over 4\pi} {\partial{\rho}\over \partial t}(x',t){1\over \vert{\bf x}-{\bf x}'\vert}$$

la trattazione è perfettamente coerente e viene usata spesso quando si fanno studi di interazione del campo elettromagnetico con sistemi legati; essa presenta poi l'enorme vantaggio di aver rimosso ogni ulteriore arbitrarietà dei potenziali, ma in questo modo si perde completamente la covarianza manifesta della teoria.

La gauge più usata però è quella di Lorentz in cui $\partial\cdot A=0$. Questa ha il grande pregio di mantenere manifesta la covarianza della teoria e di semplificare le (4.24), dando luogo a delle equazioni (le equazioni delle onde trovate al §1.4) identiche per tutte le componenti dei potenziali; essa però, come vedremo in seguito, non rimuove completamente l'arbitrarietà dei potenziali.

Vogliamo dunque trovare una formulazione lagrangiana invariante per la teoria dell'elettromagnetismo, per usare quanto visto ai precedenti paragrafi; allora cercheremo anzitutto l'espressione della lagrangiana del campo elettromagnetico in termine dei potenziali $A^\mu$. Questo però comporta un problema; sappiamo infatti che i potenziali non sono delle quantità osservabili direttamente, dato che dipendono dalla scelta della gauge; questo causerà delle difficoltà nella quantizzazione perché essi non possono essere considerati come variabili dinamiche indipendenti; per ora comunque ci limiteremo a cercare un'espressione per la densità di lagrangiana $\cal L$ del campo elettromagnetico con la quale poi esprimere anche le altre quantità misurabili.

Per trovare $\cal L$ partiamo dal fatto che sappiamo che il quadripotenziale $A^\mu$ è un quadrivettore, mentre ci occorre uno scalare invariante funzione di esso e delle sue derivate prime. L'invarianza di gauge delle equazioni del moto non comporta automaticamente anche quella della lagrangiana; sappiamo infatti che tutte le possibili scelte di una lagrangiana a meno della quadridivergenza di una funzione qualunque danno luogo alle stesse equazioni del moto, per cui dall'invarianza di gauge otteniamo solo l'ulteriore richiesta che per trasformazioni di gauge dei potenziali la lagrangiana debba avere al più una divergenza aggiuntiva.

La cosa più semplice è allora prendere una lagrangiana quadratica nei potenziali e nelle loro derivate; in questo caso la forma più generale che possiamo prendere con la condizione di avere un invariante è (per snellire la notazione useremo nel resto del paragrafo le unità naturali per cui $c=1$):

$${\cal L} = \half \left[ a \partial_\mu A^\nu \partial^\mu A_\nu ... ...l_\nu A^\mu + c(\partial_\mu A^\mu)^2 +d A^\mu A_\mu + e A_\mu j^\mu \right]$$

e da questa vogliamo ottenere le equazioni del moto (4.24) tramite le equazioni di Eulero che in questo caso possiamo scrivere come:

$$\pd{\cal L},{A^\rho} - \partial_\sigma \pd{\cal L},{A^\rho_{\ ,\sigma}} = 0$$

avendo introdotto per snellire le formule la notazione $A^\rho_{\ ,\sigma}=\partial_\sigma {A^\rho}$, con la quale la precedente lagrangiana si scrive come:

$${\cal L} =\half \left[ a A^\nu_{\ ,\mu} A_\nu^{\ ,\mu} + b A^\nu... ... A^\mu_{\ ,\nu} + c(A^\mu_{\ ,\mu})^2 +d A^\mu A_\mu + e A_\mu j^\mu \right]$$

calcoliamoci allora le derivate dei singoli pezzi della lagrangiana: dato che i primi tre dipendono solo dalle derivate dei campi il primo termine della contiene solo gli ultimi due; viceversa il secondo termine dipenderà solo dai primi tre.

Cominciamo dalle derivate rispetto alle variabili canoniche (cioè i quadripotenziali $A^\rho$) usando la relazione base $\partial A^\mu/\partial A^\rho=\delta_\rho^\mu$; il primo termine da esaminare è:

$$\pd{},{A^\rho} A^\mu A_\mu = \pd{},{A^\rho} g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu = g_{\mu\nu} (\delta_\rho^\mu A^\nu + \delta_\rho^\nu A^\mu)= 2 A_\rho$$

il secondo pezzo è ancora più facile da ottenere:

$$\pd{},{A^\rho} A^\mu j_\mu =j_\rho$$

le derivate delle derivate dei campi sono invece un po' più delicate da fare, e bisogna stare attenti a non fare confusione con gli indici, la relazione base infatti è:

$${\partial\over \partial A^\rho_{\ ,\sigma}} A^\nu_{\ ,\mu}= \delta_\rho^\nu \delta_\mu^\sigma$$

cominciamo allora col primo termine contenente le derivate dei potenziali, si avrà:

$$\pd{},{A^\rho_{\ ,\sigma}} A^\nu_{\ ,\mu} A_\nu^{\ ,\mu}$$

adesso qui avendo gli indici contratti non è immediatamente chiaro come fare le derivate, scriviamoci perciò $A^\nu_{\ ,\mu} A_\nu^{\ ,\mu} = g_{\alpha\nu} g^{\mu\beta} A^\nu_{\ ,\mu} A^\alpha_{\ ,\beta}$ e adesso avendo tutto in termini di indici diversi potremo derivare rispetto alle $A^\rho_{\ ,\sigma}$ ottenendo:

$$\begin{aligned} \pd{},{A^\rho_{\ ,\sigma}} [g_{\alpha\nu}... ... A^\nu_{\ ,\mu} ) \cr &= 2 A_\rho^{\ ,\sigma}\cr \end{aligned}$$

il secondo termine nelle derivate lo trattiamo allo stesso modo; riscrivendoci anzitutto $A^\nu_{\ ,\mu} A^\mu_{\ ,\nu} = \delta^\beta_\nu \delta^\mu_\alpha A^\nu_{\ ,\mu} A^\alpha_{\ ,\beta}$, dunque si ha:

$$\begin{aligned} \pd{},{A^\rho_{\ ,\sigma}} \delta^\beta_\n... ...A^\nu_{\ ,\mu} ) \cr &= 2 A_{\ ,\rho}^\sigma \cr \end{aligned}$$

per l'ultimo termine nelle derivate scriviamoci $(A^\mu_{\ ,\mu})^2 = A^\mu_{\ ,\mu} A^\alpha_{\ ,\alpha} = \delta^\mu_\nu \delta^\beta_\alpha A^\nu_{\ ,\mu} A^\alpha_{\ ,\beta}$, per cui:

$$\begin{aligned}\pd{},{A^\rho_{\ ,\sigma}} \delta^\mu_\nu \del... ... ) \cr &= 2 \delta_\rho^\sigma A^\mu_{\ ,\mu} \cr \end{aligned}$$

e sostituendo tutte queste nella precedente espressione tentativa per la lagrangiana ed applicando le equazioni di Eulero-Lagrnage si ottengono le equazioni del moto che sono:

$$e \half j_\rho + d A_\rho = \partial_\sigma (a A_\rho^{\ ,\sigma... ...\partial_\sigma \partial_\rho A^\sigma + c \partial_\sigma \partial_\mu A^\mu$$

in questa poi si può notare che gli ultimi due addendi, dato che l'indice su cui si somma può è muto e le derivate commutano, danno due termini identici da poter raccogliere, per cui dal confronto di questa con la (4.24) si ottiene banalmente che $e=2$, $d=0$, $a=1$ e $b+c=-1$, e con questi valori, sostituendo $b=-c-1$ si può riscrivere la lagrangiana come:

$${\cal L} = \half \big( \partial_\mu A^\nu \partial^\mu A_\nu - \p... ...rtial_\mu A^\mu)^2 -\partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu ] \big) + j^\mu A_\mu$$ (5.26)

e qui possiamo abbassare e alzare gli indici nei primi due addendi ottenendo:

$${\cal L} = \half \big( \partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu - \... ...ial_\mu A^\mu)^2 - \partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu] \big) + j^\mu A_\mu$$

adesso però consideriamo che:

$$\begin{aligned} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} &= (\partial^\mu A^\n... ...\nu + \partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu \cr \end{aligned}$$

e qui basta cambiare nome agli indici, che tanto sono muti, per ottenere che:

$$F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = 2 (\partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu - \partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu)$$

che sostituita nella precedente espressione di ${\cal L}$ ci porta alla espressione:

$${\cal L} = {1\over 4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} + j^\mu A_\mu + {c\over 2}[(\partial_\mu A^\mu)^2 - \partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu]$$ (5.27)

adesso però si può vedere subito facendo i conti che:

$$(\partial_\mu A^\mu)^2 - \partial_\mu A^\nu \partial_\nu A^\mu =... ...rtial_\mu [ A_\nu ( g^{\mu\nu} \partial_\rho A^\rho - \partial^\nu A^\mu ) ]$$

quindi il termine indeterminato in $c$ è una quadridivergenza e pertanto può essere anche eliminato essendo inessenziale, resta così l'espressione finale:

$${\cal L}={1\over 4 }F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} + j^\mu A_\mu$$ (5.28)

Un modo diverso di ottenere questo risultato è quello di partire dalle equazioni del moto scritte come:

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} - j^\nu=0$$

ed ottenere un principio di minima azione che ci permetta di identificare una lagrangiana moltiplicando queste per una variazione infinitesima dei campi $\delta A_\nu$ (che sia nulla agli estremi) ed integrando sul quadrivolume compreso fra due ipersuperfici $t=t_1$ e $t=t_2$ ottenendo che:

$$0 = \int_{t_1}^{t_2} d^4x \left( \partial_\mu F^{\mu\nu} - j^\nu... ...d^4x \big( F^{\mu\nu} \delta (\partial_\mu A_\nu) + j^\nu \delta A_\nu \big)$$

(dove si è integrato per parti il primo addendo sfruttando l'annullarsi di $\delta A_\nu$ agli estremi); adesso per il secondo addendo è immediato considerare che:

$$j^\nu \delta A_\nu= \delta (j^\nu A_\nu)$$

dato che $j^\nu$ non dipende dai campi; per il primo termine invece consideriamo che $F^{\mu\nu}$ è antisimmetrico, pertanto nella contrazione con $\delta (\partial_\mu A_\nu)$ si ha che il pezzo dovuto alla parte simmetrica di questo termine è identicamente nullo, dunque la sola parte significativa del prodotto è quella con la parte antisimmetrica e si ha che:

$$F^{\mu\nu} \delta (\partial_\mu A_\nu) = \half F^{\mu\nu} \delta ( \partial_\mu A_\nu- \partial_\nu A_\mu) = \half F^{\mu\nu} \delta F_{\mu\nu}$$

adesso una immediata generalizzazione della formula $\delta A^2=2A\delta A$ ci dice che:

$$F^{\mu\nu} \delta F_{\mu\nu} = \half \delta (F^{\mu\nu} F_{\mu\nu})$$

(basta applicarla termine a termine) dunque alla fine si ha:

$$0 = - \int_{t_1}^{t_2} d^4x \delta\big( {1\over 4}F^{\mu\nu} F_{... ...t_{t_1}^{t_2} d^4x \big( {1\over 4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}+j^\nu A_\nu \big)$$

e allora è immediata l'identificazione:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} d^4x \big( {1\over 4}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}+j^\nu A_\nu \big) \ee {\cal L} = {1\over 4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}+j^\nu A_\nu$$

che è quello che volevamo dimostrare.

Si noti che in presenza di una corrente esterna questa lagrangiana non è invariante per trasformazioni di gauge, però il termine aggiuntivo che otteniamo è nella forma:

$$j_\mu \partial^\mu \phi = \partial^\mu (j_\mu \phi)$$

dove il passaggio è giustificato dato che per l'equazione di continuità $\partial^\mu j_\mu=0$; questo ci porta all'invarianza delle equazioni di Maxwell, ma ci dice anche che la conservazione della carica è condizione necessaria e sufficiente per l'invarianza di gauge della teoria.

Per la sua importanza nel caso quantistico possiamo partire anche da un altro punto di vista, restringendo l'arbitrarietà di $A^\mu$; la scelta più ovvia per mantenere il formalismo covariante è la gauge di Lorentz:

$$\partial_\mu A^\mu(x)=0$$ (5.29)

che riduce la (4.24) a:

$$\delamb A^\mu=j^\mu$$ (5.30)

e dove l'arbitrarietà di $\phi$ per trasformazioni di gauge è ridotta ai soli $\phi$ che soddisfino l'equazione delle onde:

$$\delamb \phi=0$$

Il procedimento ci dice cioè che scelta una lagrangiana nella forma (4.28) la conservazione della carica implica l'invarianza di gauge e viceversa; dal principio di minima azione si ottengono poi le equazioni di Maxwell.

Si può però fare una trattazione alternativa in cui la gauge di Lorentz può essere incorporata nella teoria: infatti se aggiungiamo un termine $\half \lambda (\partial \cdot A)^2$ alla lagrangiana (4.28) questo porta nelle equazioni del moto(4.24) un termine ulteriore:

$$\half \lambda\partial_\sigma \left[ \pd{},{A^\rho_{\ ,\sigma}} (... ... \delta_\rho^\sigma A^\mu_{\ ,\mu} = \lambda\partial_\rho (\partial \cdot A)$$

(si è utilizzata la (4.25) per il passaggio intermedio) che così diventerebbero:

$$\delamb A^\nu + (\lambda -1) \partial^\nu (\partial\cdot A)= j^\nu$$ (5.31)

adesso qui prendiamo la divergenza di ambo i membri ed usiamo al solito l'equazione di continuità; si ottiene che:

$$\lambda \delamb \partial^\nu A^\nu =0$$

per cui se $\lambda\ne 0$ si può concludere che:

$$\delamb \partial_\nu A^\nu =0$$ (5.32)

e basta che $\partial_\nu A^\nu$ vada a zero per $\vert t\vert\to \infty$ per avere $\partial_\nu A^\nu=0$ a tutti i tempi, si è cioè ottenuta la condizione di Lorentz, che sostituita nella (4.31) ci dà le equazioni delle onde.

In questo caso si parte dalla scelta della lagrangiana e dalla conservazione della carica: il principio di minima azione implica la (4.32), mentre le condizioni al contorno implicano la gauge di Lorentz e le equazioni di Maxwell nella forma di equazioni di D'Alambert per i potenziali.