Il teorema di Belinfante.

E' importante notare che il tensore energia-impulso, dipendendo anche dalla lagrangiana che è sempre definita a meno di una quadridivergenza, non è definito univocamente. Dato che ciò che deve essere univoco sono le osservabili fisiche (come l'energia e l'impulso) è immediato osservare che data la definizione (4.15) si possono ricavare altri infiniti tensori energia-impulso, tutti equivalenti, nella forma:

$$T'^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda A^{\lambda\mu\nu}$$

dove $A^{\lambda\mu\nu}$ è un tensore qualsiasi che soddisfi alla condizione:

$$A^{\lambda\mu\nu} = - A^{\mu\lambda\nu}$$

che sia cioè antisimmetrico rispetto ai primi due indici e che si annulli all'infinito (cioè per ${\bf x}\to\infty$).

Per dimostrare l'equivalenza notiamo che per la simmetria delle derivate parziali $\partial_\mu \partial_\lambda$ e l'antisimmetria di $A^{\lambda\mu\nu}$ appena vista si ha immediatamente:

$${\partial{T'^{\mu\nu}}\over \partial x^\mu} = {\partial{T^{\mu\nu}}\over \partial x^\mu} = 0$$

dato che è banalmente $\partial_\mu \partial_\lambda A^{\lambda\mu\nu}=0$. Ovviamente questo non basta per l'equivalenza di $T'^{\mu\nu}$ e $T^{\mu\nu}$, occorre che sia lo stesso anche il quadrimpulso $p^\mu$, che abbiamo visto essere:

$$p'^\nu = \int T'^{\mu\nu} d^3x = \int T^{0\nu} d^3x + \int \partial_\lambda A^{\lambda 0\nu} d^3x$$

adesso però la somma $\partial_\lambda A^{\lambda 0\nu}$ per l'antisimmetria si riduce a $\partial_i A^{i 0\nu}$ e ottengo così l'integrale tridimensionale di una divergenza che tratto col teorema di Gauss, andando sulla superficie all'infinito dove $A^{\lambda\mu\nu}$ è nullo per cui questo termine se ne va; resta così solo l'integrale di $T^{\mu\nu}$ per cui alla fine $p'^\nu=p^\nu$.

Un ragionamento del tutto analogo si può fare col tensore densità di momento angolare ${\cal M}^{\rho\mu\nu}$ sfruttando un qualsiasi tensore $A^{\lambda\rho\mu\nu}$ antisimmetrico rispetto ai primi due indici e che vada a zero per x che va all'infinito; in tal caso con lo stesso identico procedimento di prima si otterrà che:

$${\cal M'}^{\rho\mu\nu} = {\cal M}^{\rho\mu\nu} + \partial_\lambda A^{\lambda\rho\mu\nu}$$

è perfettamente equivalente a ${\cal M}^{\rho\mu\nu}$.

Date queste relazioni possiamo dimostrare il teorema di Belinfante, che premette di scrivere $T^{\mu\nu}$ e ${\cal M}^{\rho\mu\nu}$ in forma semplificata.

Il punto di partenza è la considerazione che l'espressione (4.15) del tensore energia-impulso ci mostra che non è detto che $T^{\mu\nu}$ sia simmetrico, per cui in generale occorre stare molto attenti rispetto all'indice su cui si deriva per ottenere la conservazione del quadrimpulso.

Questa condizione si può ricavare direttamente dalle leggi di conservazione di $T^{\mu\nu}$ e ${\cal M}^{\rho\mu\nu}$ con l'espressione (4.19) di quest'ultimo, se infatti poniamo:

$$H^{\rho\mu\nu} = \pi_i^\rho \Sigma^{\mu\nu}_{ij} \phi_j$$

usando la conservazione di ${\cal M}^{\rho\mu\nu}$ e la (4.19) otterremo che:

$$\pd{{\cal M}^{\rho\mu\nu}},{x^\rho} = 0 = \partial_\rho (T^{\rho\mu} x^\nu - T^{\rho\nu} x^\mu) - \partial_\rho H^{\rho\mu\nu}$$

adesso qui possiamo svolgere i conti sul primo addendo ed usando la legge di conservazione per $T^{\mu\nu}$ sarà:

$$\partial_\rho (T^{\rho\mu} x^\nu - T^{\rho\nu} x^\mu) = T^{\rho\m... ...partial_\rho x^\mu = T^{\rho\mu} \delta_\rho^\nu - T^{\rho\nu} \delta_\rho^\mu$$

da cui segue immediatamente:

$$T^{\nu\mu} - T^{\mu\nu} = \partial_\rho H^{\rho\mu\nu}$$ (5.20)

quindi $T^{\mu\nu}$ non è simmetrico, a meno che non sia nullo $H^{\rho\mu\nu}$, cosa che avviene solo (visto che questo è il termine dovuto allo spin) solo per campi scalari.

Il teorema di Belinfante però ci assicura che è sempre possibile ottenere un tensore energia impulso equivalente che sia simmetrico. Per farlo definiamo il tensore:

$$G^{\rho\mu\nu} = \half \left( H^{\rho\mu\nu} + H^{\mu\nu\rho} + H^{\nu\mu\rho} \right)$$ (5.21)

e verifichiamo che il tensore:

$$\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\rho G^{\rho\mu\nu}$$ (5.22)

è equivalente a $T^{\mu\nu}$.

Per farlo sfruttiamo quanto visto prima, anzitutto mostriamo che $G^{\rho\mu\nu}$ è antisimmetrico nei primi due indici. Per farlo usiamo le definizione (4.21); si avrà che:

$$G^{\mu\rho\nu}= \half \left( H^{\mu\rho\nu} + H^{\rho\nu\mu} + H^{\nu\rho\mu} \right)$$

adesso però sappiamo $H^{\rho\mu\nu}$ è antisimmetrico negli ultimi due indici (per le proprietà delle $\Sigma^{\mu\nu}$) per cui si avrà:

$$G^{\mu\rho\nu} = \half \left( - H^{\mu\nu\rho} - H^{\rho\mu\nu} - H^{\nu\mu\rho} \right)$$

e confrontando questa con la definizione (4.21) si ha la definitiva:

$$G^{\mu\rho\nu} = - G^{\rho\mu\nu}$$

quindi l'antisimmetria è dimostrata, l'altra condizione poi è immediatamente soddisfatta in quanto $G^{\rho\mu\nu}$ è una combinazione lineare dei campi e pertanto dato che si annullano all'infinito lo fa pure lui.

Adesso quello che si deve far vedere è che $\Theta^{\mu\nu}$ è simmetrico, dalla (4.22) abbiamo subito che:

$$\Theta^{\nu\mu}= T^{\nu\mu} + \partial_\rho G^{\rho\nu\mu}$$

ma per la (4.20) questa diventa:

$$\Theta^{\nu\mu}= T^{\mu\nu} + \partial_\rho H^{\rho\mu\nu} + \partial_\rho G^{\rho\nu\mu}$$

e basta usare la definizione per $G^{\rho\nu\mu}$ e sviluppare il conto per ottenere:

$$\Theta^{\nu\mu} = T^{\mu\nu} + \half \partial_\rho \big( 2 H^{\rho\mu\nu} + H^{\rho\nu\mu} + H^{\nu\mu\rho} + H^{\mu\nu\rho} \big)$$

adesso qui consideriamo che $H^{\rho\nu\mu}=-H^{\rho\mu\nu}$ quindi si può semplificare ottenendo:

$$\Theta^{\nu\mu} = T^{\mu\nu} + \half \partial_\rho \big( H^{\rho\mu\nu} + H^{\nu\mu\rho} + H^{\mu\nu\rho} \big)$$

e se confrontiamo con la (4.21) si vede subito che questa è:

$$\Theta^{\nu\mu} = T^{\mu\nu} + \partial_\rho G^{\rho\mu\nu} = \Theta^{\mu\nu}$$

dunque $\Theta^{\mu\nu}$ è simmetrico; per questa proprietà $\Theta^{\mu\nu}$ è chiamato tensore energia-impulso canonico.

Con $\Theta^{\mu\nu}$ si può anche semplificare l'espressione della densità di momento angolare; se sostituiamo nella definizione a $T^{\mu\nu}$ infatti si ha:

$${\cal M}^{\rho\mu\nu} = \left( \Theta^{\rho\mu} - \pd{G^{\lambda... ...\rho\nu} - \pd{G^{\lambda\rho\nu}},{x^\lambda} \right) x^\mu - H^{\rho\mu\nu}$$

vale a dire, svolgendo i conti:

$${\cal M}^{\rho\mu\nu} = \Theta^{\rho\mu}x^\nu - \Theta^{\rho\nu}x... ...da} x^\nu - \pd{G^{\lambda\rho\nu}},{x^\lambda} x^\mu + H^{\rho\mu\nu} \right]$$

per valutare la parentesi quadra consideriamo che:

$$\begin{aligned} \pd{},{x^\lambda} \left( G^{\lambda\rho... ...mu \right) + G^{\nu\rho\mu} - G^{\mu\rho\nu} \cr \end{aligned}$$

adesso consideriamo gli ultimi due addendi scrivendoceli esplicitamente; si ha:

$$G^{\nu\rho\mu} - G^{\mu\rho\nu} = \half \big[ H^{\nu\rho\mu} + H^... ...} - H^{\nu\rho\mu} \big] = \half \big[ H^{\rho\mu\nu} - H^{\rho\nu\mu} \big]$$

e qui basta invertire gli ultimi due indici del secondo per avere che:

$$G^{\nu\rho\mu} - G^{\mu\rho\nu} = H^{\rho\mu\nu}$$

dunque si ottiene che:

$$\pd{},{x^\lambda} \left( G^{\lambda\rho\mu} x^\nu - G^{\lambda\... ...{x^\lambda} x^\nu - \pd{G^{\lambda\rho\nu}},{x^\lambda} x^\mu + H^{\rho\mu\nu}$$

quindi si può scrivere il tensore densità di momento angolare come:

$${\cal M}^{\rho\mu\nu} = \Theta^{\rho\mu}x^\nu - \Theta^{\rho\nu}x^\mu - \partial_\lambda ( G^{\lambda\rho\mu} x^\nu - G^{\lambda\rho\nu} x^\mu )$$

e allora dato che evidentemente il termine in parentesi è antisimmetrico nei primi due indici (lo è $G^{\lambda\rho\mu}$) e si annulla all'infinito (ci pensano i campi dentro $G^{\lambda\rho\mu}$) questo è un tensore perfettamente equivalente a:

$${\cal M'}^{\rho\mu\nu} = \Theta^{\rho\mu}x^\nu - \Theta^{\rho\nu}x^\mu$$

che può essere usato come forma semplificata della densità di momento angolare.