La trasformata di Fourier del propagatore

La soluzione dell'equazione differenziale per il propagatore è in genere più semplice se si usano le trasformate di Fourier, in tal caso infatti le equazioni che contengono operatori di derivazione possono essere trasformate in semplici equazioni algebriche.

Il primo passo da fare è osservare che siccome tutti i problemi fisici di una qualche rilevanza presentano invarianza di traslazione, il propagatore quindi non sarà mai funzione di $x_1$ e $x_2$ separatamente, ma solo della differenza $x_1-x_2$. Questo ci permette di scriverne la trasformata di Fourier in maniera assolutamente generale come:

$$G^+(x_1-x_2) = \int\dpp4 G^+(p) e^{-\ih p(x_2-x_1)}$$ (4.12)

nel caso dell'equazione di Schroedinger per una particella libera l'equazione che otteniamo è:

$$\left( i\hbar{\partial\over \partial t_2}-{\hbar^2\over 2m}\nabla_2^2 \right) G_0^+(x_2-x_1) = i\hbar\delta^4(x_2-x_1)$$

adesso possiamo usare la rappresentazione della delta di Dirac:

$$\delta(x) = \int {dk\over 2\pi}e^{-ikx}=\int {dp\over 2\pi\hbar}e^{-\ih px}$$ (4.13)

per cui la precedente diventa:

$$\left( i \hbar {\partial \over \partial t_2}-{\hbar^2 \over 2m}\n... ...\right) \int \dh4p G^+_0(p)e^{-\ih p(x_2-x_1)} = \int\dpp4 e^{-\ih p(x_2-x_1)}$$

dalla quale, portando le derivate dentro l'integrale, si ottiene^4.4 l'equazione algebrica:

$$G^+_0(p)\left(\omega-{p^2\over 2 m}\right)=1$$

questo ci mostra che per $\omega\ne p^2/2m$ si ha:

$$G^+_0(p) = {1\over \omega-{\displaystyle p^2\over\displaystyle 2m}}$$ (4.14)

il problema che sorge qui è che questa è ovviamente una funzione singolare; d'altra parte per $G^+_0(x_1-x_2)$ non si ha solo l'equazione (3.5), ma anche la condizione al contorno che sia $G^+_0$ nulla per $t_2<t_1$; allora è il comportamento nella singolarità che ci darà l'andamento delle condizioni al contorno.

Figure: I due cammini su cui si applica il Lemma di Jordan per il calcolo dell'integrale del propagatore $G^+_0(x)$ usando l'espressione (3.15) di $G^+_0(p)$ nello spazio degli impulsi.

Il trucco per risolvere il problema, che permette integrare la (3.12) con questa espressione singolare per $G^+_0(p)$ ed ottenere al contempo le condizioni al contorno, è quello di aggiungere a denominatore della $G^+_0(p)$ una quantità complessa infinitesimale $i\epsilon$ che sposta il polo dall'asse reale e permette di calcolare l'integrale; esprimeremo cioè il propagatore nello spazio degli impulsi come:

$$G^+_0(p)={1\over \omega-{\displaystyle p^2\over\displaystyle 2m}+i\epsilon}$$ (4.15)

(dove si è sottinteso un $\lim_{\epsilon\to 0}$ da aggiungere a questa espressione tutte le volte che la si integra) con la quale l'equazione per il propagatore diventa:

$$G_0^+(x_2-x_1) = \int \dpp3 e^{-\ih{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} ... ...ega(t_2-t_1)}\over\omega-{\displaystyle p^2\over\displaystyle 2m} + i\epsilon}$$

per questo integrale possiamo usare il lemma di Jordan, calcolando l'integrale su un cammino chiuso nel piano complesso. Per farlo consideriamo i due cammini illustrati in fig. 3.2, costituiti dall'asse reale chiuso da un semicerchio all'infinito. Adesso se $t_2<t_1$ l'esponenziale va a zero per $\im \omega>0$, quindi usando il cammino chiuso nel semipiano superiore, che non contiene poli, otterremo che il risultato, per il teorema dei residui, è zero. Se viceversa $t_2>t_1$ perché l'esponenziale si annulli deve essere $\im \omega<0$ e dobbiamo usare il cammino chiuso nel semipiano inferiore; si ottiene così che:

$$\int_{-\infty}^\infty {d\omega\over 2\pi\hbar} {e^{-\ih \omega(... ... i\epsilon} = -2\pi i \Res {e^{-\ih\omega(t_2-t_1)}\over \omega-{p^2\over 2m}}$$

(essendo il cammino che da l'integrale in senso antiorario si è cambiato segno); questo si risolve banalmente tenendo conto che per poli del primo ordine come questo si ha che:

$$\Res_{z=z_0} f(z)=\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)$$

dunque:

$$\Res_{\omega= p^2/2m} {e^{-\ih \omega(t_2-t_1)}\over \omega-{p^2... ...m_{\omega\to p^2/2m} e^{-\ih \omega(t_2-t_1)}=e^{-\ih {p^2\over 2m} (t_2-t_1)}$$

per cui alla fine si ottiene che:

$$G_0^+(x_2-x_1) = -i\theta(t_2-t_1) \int \dpp3 e^{-\ih{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} e^{-\ih{p^2\over 2m}(t_2-t_1)}$$

e se consideriamo che le soluzioni per l'equazione di Schroedinger di particella libera sono:

$$\phi_p({\bf x},t) = {1\over (2\pi\hbar)^{3/2}} e^{\ih \bf p \cdot x} e^{-\ih {p^2 \over 2m} t}$$

si vede subito che questa è proprio nella forma^4.5 della (3.8).

Come si vede la prescrizione di aggiungere un $i\epsilon$ al denominatore dell'espressione (3.15) ci permette di ottenere la condizione al contorno che volevamo, questo è quanto ci aspettiamo se consideriamo che una delle possibili definizioni della funzione $\theta$ è:

$$\theta(t) = -{1\over 2\pi i} \int_{-\infty}^\infty d\omega {e^{-i\omega t} \over \omega +i \epsilon}$$ (4.16)

che, calcolando l'integrale con lo stesso procedimento appena mostrato per $G^+_0(p)$, che ha esattamente la stessa forma, ci dà la definizione vista in (2.109).

Da questa definizione si ottiene anche la relazione $\theta'(t)=\delta(t)$ usata per dimostrare la (3.5) all'inizio del capitolo, basta osservare infatti che:

$$\begin{aligned}\theta'(t) &={d{}\over dt} \theta(t) = -{1\ove... ...d\omega \over 2\pi}e^{-i\omega t} = \delta(t) \cr \end{aligned}$$

dove si è effettuato l'ultimo passaggio semplificando $\omega+i\epsilon$ con $\omega$.