La conservazione dell'energia e dell'impulso

Inoltre ci interessa ottenere la conservazione dell'energia e della quantità di moto che sono leggi generali che devono restare valide anche in relatività ristretta; per farlo cominciamo col definire come quadrimpulso il quadrivettore:

$$p^\mu=m_0v^\mu =\big({m_0c\over{\sqrt{1-\beta^2}}},{m_0{\bf v}\over{\sqrt{1-\beta^2}}} \big)=(m_0\gamma c, m_0\gamma {\bf v})$$ (2.42)

col quale possiamo esprimere l'analoga relativistica della (1.41) come:

$$f^\mu={dp^\mu\over d\tau}$$ (2.43)

e questa è perfettamente equivalente alla precedente $f^\mu=m_0a^\mu$.

Adesso si tratta di capire quali sono le caratteristiche di $p^\mu$, e dato che vogliamo ottenere la conservazione della quantità di moto (che è una legge che deve essere valida in tutti i sistemi di riferimento) la conservazione di tale quadrivettore sarebbe l'ideale; vedremo poi che essa comporta, al limite di $v\ll c$, anche la conservazione dell'energia cinetica classica.

Se come legge di conservazione imponiamo che sia $\sum p^\mu=\hbox{cost.}$ questo significa che tutte le componenti del quadrivettore si conservano; allora per le componenti spaziali quello che si conserva è:

$${m_0{\bf v}\over{\sqrt{1-\beta^2}}}$$

e questa al limite classico ci da la legge di conservazione della quantità di moto; se però vogliamo che la legge sia valida anche a livello relativistico dovremo porre:

$$m = {m_0\over{\sqrt{1-\beta^2}}}$$ (2.44)

cosicché si può ancora definire la quantità di moto come $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$, solo che in questo caso la massa non è più un invariante ma dipende dalla velocità rispetto al particolare sistema di riferimento usato.

Abbiamo visto cosa sono le componenti spaziali del quadrimpulso, che possiamo identificare con una quantità di moto; diventa così logico usare per la forza in tre dimensioni $\mathbf{f}$ la definizione riportata in (1.41) che resterà valida in tutti i sistemi inerziali, anche se in generale $\mathbf{f}$ sarà diversa al cambiare del sistema di riferimento e non potrà essere identificata con la parte spaziale di un quadrivettore.

Resta da interpretare la componente temporale $p_0$, ed inoltre dobbiamo chiarire la relazione fra il quadrimpulso e la forza espressa con la (1.43), pertanto proviamo a calcolare la rerivata:

$${d{p_0}\over dt} ={d{}\over dt}{1\over c}{m_0 c^2 \over \sqrt{1-\beta^2}}=m_0 c{d{\gamma}\over dt}$$ (2.45)

per esprimere questa occorre vedere cos'è:

$${d{\bf p}\over dt}={d{}\over dt}(m_0\gamma{\bf v})$$

ma, a parte il fattore $m_0$, questa espressione l'abbiamo già ottenuta nel calcolo per il passaggio della (1.39) alla (1.40); allora usando quell'espressione e moltiplicando tutto per $\mathbf{v}$ otterremo che:

$${\bf v}\cdot{d{\bf p}\over dt}=m_0 \left[ v^2{d{\gamma}\over dt}+\gamma {\bf v}\cdot{d{\bf v}\over dt}\right]$$

ed usando la (1.38) si ottiene:

$${\bf v}\cdot{d{\bf p}\over dt} = m_0 \left[{v^2\over c^2-v^2}\ga... ...ht] = m_0\gamma {\bf v}\cdot{d{\bf v}\over dt} \left[{c^2\over c^2-v^2}\right]$$

da cui segue, sempre per la (1.38), che:

$${\bf v}\cdot{d{\mathbf{p}}\over dt}=m_0 c^2 {d{\gamma}\over dt}$$ (2.46)

questa relazione è estremamente utile giacché ci permette di esprimere la (1.45) come:

$${d{p_0}\over dt}= m_0c{d{\gamma}\over dt}={1\over c}{\bf v}\cdot{d{\bf p}\over dt}$$

che ci dice subito, avendo definito ${\bf f}=d{\bf p}/dt$, che:

$${d{p_0}\over dt}={1\over c}{\bf v}\cdot{\bf f}={W\over c}$$

dove $W$ è, come nella meccanica classica, la potenza; otteniamo così per la componente temporale del quadrimpulso l'identificazione:

$$p_0={E\over c}$$

e allora, se usiamo questa definizione, possiamo avere la conservazione dell'energia tramite la conservazione della componente temporale del quadrimpulso. Questo però comporta che l'espressione relativistica dell'energia di una particella è diversa da quella classica: dalla definizione di $p^\mu$ otteniamo una formula abbastanza famosa:

$$E={m_0c^2\over{\sqrt{1-\beta^2}}} = \gamma m_0 c^2 = mc^2$$ (2.47)

che sviluppata per $v\ll c$ ci da:

$$E=m_0c^2+{1\over2}m_0v^2+ \ldots$$

che è l'espressione classica solo che in più troviamo che c'è una energia di riposo (che classicamente era una costante arbitraria posta sempre a zero) caratteristica di ogni particella e legata alla sua massa secondo la arcinota relazione di Einstein.

Infine ritorniamo all'espressione esplicita per la forza di Minkowsky definita in (1.43), che per quanto trovato sopra può essere scritta come:

$$f^\mu={dp^\mu\over d\tau}=\gamma{d{p^\mu}\over dt}=\big(\gamma{W\over c},\gamma {\bf f}\big)$$ (2.48)

Si noti che in realtà qui ci si è limitati a esprimere la conservazione dell'energia e della quantità di moto tramite la conservazione del quadrimpulso, facendo vedere come da questa al limite classico si riottengano le precedenti, in modo da avere, con un'analogia, le espressioni per l'energia e l'impulso relativistiche; abbiamo così ottenuto le formule giuste. Non abbiamo però dimostrato effettivamente che sono necessariamente queste.

In realtà le espressioni relativistiche dell'energia e della quantità di moto si possono ottenere rigorosamente in altri modi; uno di questi, molto formale, utilizza di un impianto analogo a quello della meccanica analitica, costruendo una lagrangiana da cui derivare le equazioni del moto tramite il principio di minima azione; un altro ricorre invece ai due principi fondamentali della conservazione dell'energia e dell'impulso dai quali (per il procedimento vedi [Jac]) si possono ricavare dette espressioni in via del tutto generale con argomenti di carattere teorico, (basandosi sui postulati ed usando considerazioni sull'urto elastico di due particelle identiche), imponendo la condizione che esse si riducano alle usuali per $v\ll c$.

Infine è di notevole interesse il modulo del quadrimpulso, da quanto ottenuto sappiamo che possiamo esprimere quest'ultimo come:

$$p^\mu = \big({E\over c}, {\bf p}\big) = \big( {m_0c\over{\sqrt{1-... ...}, {m_0{\bf v}\over{\sqrt{1-\beta^2}}} \big) = (m_0\gamma c, m_0\gamma {\bf v})$$ (2.49)

da cui si ottiene che il modulo è:

$$p^2=p^\mu p_\nu={E^2\over c^2}-\vert{\bf p}\vert^2$$

ma questo è un invariante, per cui possiamo valutarlo in un qualsiasi sistema di riferimento, allora possiamo andare nel sistema solidale, dove $p^\mu=(m_0c, \mathbf{0})$ per cui si ha che $p^2=m_0^2c^2$ e dalla precedente si ottiene la formula fondamentale:

$$E^2=\vert{\bf p}\vert^2 c^2+m_0^2c^4$$ (2.50)

detta relazione di Einstein, che è l'equivalente relativistico della relazione classica $E=p^2/2m$. Dalla quantità di moto di una particella si può poi ricavare la sua velocità; infatti dall'espressione (1.49) si ottiene immediatamente:

$${\bf v}={c^2 {\bf p}\over E}$$

Il quadrimpulso $p^\mu$ ci dà una descrizione completa della cinematica di una particella; quindi l'assegnazione della massa di una particella e della sua velocità v (o dell'impulso p) in un qualsiasi sistema di riferimento ci permette di determinarne le proprietà cinematiche; negli esperimenti con acceleratori però diventa più conveniente usare come variabili cinematiche le due componenti di p perpendicolari all'asse $z$ (preso lungo la direzione del fascio) che indicheremo con ${\bf p}_\perp$ e la rapidità $\zeta$ definita dalle (1.7).

Se in un riferimento $S$ una particella ha impulso p con impulso trasversale ${\bf p}_\perp$ e una componente lungo $z$ pari a $p_\Vert$ esiste una unica trasformazione di Lorentz lungo l'asse $z$ che porta ad un riferimento $S'$ in cui $p_\Vert$ è nulla. Allora in $S'$ l'impulso e l'energia della particella saranno:

$${\bf p}'={\bf p}_\perp\quad,\quad {E'\over c}=\Omega=\sqrt{p^2_\perp+m^2c^2}$$

Nota poi la rapidità $\zeta$ di questa trasformazione, partendo dalle precedenti componenti del quadrimpulso in $S'$ possiamo trovare quelle in $S$ usando le proprietà generali di trasformazione dei quadrivettori date dalla (1.23), usando le espressioni di $\gamma$ e $\beta$ in termini di $\zeta$. E' banale verificare che si può scrivere il quadrimpulso in $S$ come:

$${E\over c}=\Omega\cosh{\zeta}\quad,\quad {\bf p}_\perp\quad,\quad p_\Vert=\Omega \sinh{\zeta}$$

ed $\Omega/c=m_\perp$ viene talvolta chiamata massa trasversale o massa longitudinale. Quindi in generale potremo scriverci l'energia e l'impulso di una particella come:

$$p^\mu=(m_\perp\cosh{\zeta}, p_x,p_y, m_\perp\sinh{\zeta})$$

Il vantaggio di usare ${\bf p}_\perp$ e $\zeta$ è che una trasformazione di Lorentz lungo $z$ cambia le rapidità di un termine costante da $\zeta$ a $\zeta-Z$ dove $Z$ è la rapidità della trasformazione, e così la configurazione cinematica delle particelle nel sistema del laboratorio differisce da quella nel centro di massa per un banale spostamento dello zero.