Proprietà delle trasformazioni degli spinori

Torneremo sulle trasformazioni improprie più avanti; per ora osserviamo che la trasformazione (2.34) non è, come nel caso tridimensionale, unitaria (è una conseguenza della metrica pseudoeuclidea dello spazio di Minkowsky). Esaminiamo i generatori della trasformazione; dalla (2.33) si ha che:

$$(\sigma^{\alpha\beta})^\dagger=\left({i \over 2} [\gamma^\alpha,... ...r(\gamma^\alpha)^\dagger - (\gamma^\alpha)^\dagger(\gamma^\beta)^\dagger \big)$$

e adesso possiamo sfruttare la (2.21) che ci dice che:

$$(\sigma^{\alpha\beta})^\dagger= -{i \over 2} (\gamma^0\gamma^\bet... ...er 2} \gamma^0 (\gamma^\beta\gamma^\alpha- \gamma^\alpha\gamma^\beta) \gamma^0$$

da ciò è banale osservare che:

$$(\sigma^{\alpha\beta})^\dagger={i \over 2} \gamma^0[\gamma^\alpha,\gamma^\beta]\gamma^0 = \gamma^0\sigma^{\alpha\beta}\gamma^0$$ (3.35)

adesso se consideriamo i generatori delle rotazioni tridimensionali questa diventa:

$$(\sigma^{ij})^\dagger={i \over 2} \gamma^0 [\gamma^i,\gamma^j]\gamma^0$$

ma dalle regole di anticommutazione sappiamo che $\gamma^0$ anticommuta con le $\gamma^i$ per cui lo si può portare da sinistra a destra anticommutando due volte (quindi senza cambiare segno) e semplificare, per cui alla fine sia ha:

$$(\sigma^{ij})^\dagger=\sigma^{ij}$$

dunque i generatori delle rotazioni sono hermitiani; se consideriamo invece i generatori dei boost di Lorentz sarà:

$$(\sigma^{0i})^\dagger={i \over 2} \gamma^0 [\gamma^0,\gamma^i]\ga... ...mma^0\gamma^i\gamma^0\gamma^0)= {i \over 2}(\gamma^i\gamma^0-\gamma^0\gamma^i)$$

e dunque si vede subito che:

$$(\sigma^{0i})^\dagger=-\sigma^{0i}$$

cioè sono antihermitiani.

Nella rappresentazione di Dirac possiamo calcolare esplicitamente le $\sigma^{\alpha\beta}$ e si ottiene che hanno la forma:

$$\sigma^{0i}=i \begin{pmatrix}0&\sigma_i \cr \sigma_i& 0 \cr \end{... ...a^{ij}=\epsilon_{ijk} \begin{pmatrix}\sigma_k& 0\cr 0&\sigma_k\cr \end{pmatrix}$$ (3.36)

e le proprietà precedenti sono evidenti.

Adesso vediamo cosa succede con le matrici di trasformazione; una prima cosa che si può vedere è che se consideriamo rotazioni pure $S_R$ si ha che:

$$S_R=\left( e^{-{i\over 4}\sigma_{ij}\omega^{ij}}\right)^\dagger= ... ...i\over 4}\sigma_{ij}^\dagger\omega^{ij}}= e^{{i\over 4}\sigma_{ij}\omega^{ij}}$$

e quindi $S_R^\dagger=S_R^{-1}$ quindi $S_R$ è unitaria, mentre se consideriamo boost di Lorentz puri $S_L$ si ha:

$$S_L=\left( e^{-{i\over 4}\sigma_{0i}\omega^{0i}}\right)^\dagger= ... ...\over 4}\sigma_{0i}^\dagger\omega^{0i}}= e^{-{i\over 4}\sigma_{0i}\omega^{0i}}$$

dunque $S_L=S_L^\dagger$ quindi $S_L$ è hermitiana; in generale poi potremo dare una legge analoga alla (2.35); infatti con essa possiamo scrivere:

$$S(\Lambda)^\dagger=\left( e^{- {i\over 4} \sigma_{\alpha\beta}\om... ...eta}}= e^{{i\over 4} \gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\omega^{\alpha\beta}}$$

che espansa in serie ci da:

$$S(\Lambda)^\dagger= \un + {i\over 4} \omega^{\alpha\beta} \gamma^... ...pha\beta}\right)^n \left(\gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\right)^n +\cdots$$

ma evidentemente si ha:

$$\left(\gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\right)^n= \underbrace{... ...pha\beta}\gamma^0 }_{\hbox{$n$ volte}}= \gamma^0\sigma_{\alpha\beta}^n\gamma^0$$

(semplificando i $\gamma^0\gamma^0=\un$ interni) dunque la precedente si può riscrivere, e raccogliendo tutti i $\gamma^0$ agli estremi, come:

$$S(\Lambda)^\dagger=\gamma^0\left( \un + {i\over 4} \omega^{\alpha... ...0\left( e^{{i\over 4}\sigma_{\alpha\beta}\omega^{\alpha\beta}}\right) \gamma^0$$

e alla fine si ottiene che:

$$S(\Lambda)^\dagger=\gamma^0 S(\Lambda)^{-1}\gamma^0$$ (3.37)

che si può esprimere, in forma equivalente, come:

$$S(\Lambda)^{-1}=\gamma^0 S(\Lambda)^\dagger\gamma^0= \bar S(\Lambda)$$ (3.38)

dove $\bar S(\Lambda)$, definita proprio come $\gamma^0 S(\Lambda)^\dagger\gamma^0$, viene detta aggiunta di $S(\Lambda)$.