Il formalismo lagrangiano della teoria dei campi.

Vediamo allora come si può formulare una trattazione generale della dinamica dei campi. Il punto di partenza resta il principio di minima azione, si dovrà però vedere come riesprimere l'azione avendo a che fare con campi; comunque se $L$ è la lagrangiana del sistema sarà ancora:

$$S=\int_{t_1}^{t_2} L dt$$

soltanto che adesso l'espressione di $L$ si otterrà (essendo il limite continuo delle somme delle lagrangiane di ogni grado di libertà) come integrale di una densità di lagrangiana $\cal L$; e nel caso generale, essendo in tre dimensioni, sarà:

$$L = \int {\cal L}dV$$

ed $\cal L$ in generale sarà, per quanto visto prima e per analogia con la meccanica analitica classica, funzione dei campi, delle loro derivate spaziali e temporali, ed eventualmente anche delle coordinate (spaziali e temporali), ma quest'ultimo caso sarà solo quello in cui agiscono forze esterne; in generale se considereremo solo campi liberi o al più interagenti fra di loro, l'omogeneità ed isotropia dello spazio e del tempo ci permette di escludere questa dipendenza che automaticamente privilegerebbe istanti e coordinate particolari.

Utilizzando tutto ciò potremo allora riscriverci l'azione nella forma più generale (considerando anche più campi $\phi_1,\ldots,\phi_n$) come:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} dt \int dV {\cal L} \left( \phi_i, \dot\phi_i, {d\over dx_k} \phi_i \right)$$

è immediato notare che questo è un integrale quadridimensionale, per cui è immediato impostare tutto col formalismo relativistico, facendo direttamente una teoria covariante.

Il punto fondamentale è allora che si postula che anche in relatività resti valido il principio di minima azione, per cui esiste una quantità $S$ (che deve essere un invariante) la cui variazione, nel senso che preciseremo subito, deve essere nulla sul moto effettivo; l'analogia col caso classico ci permette di usare la formulazione appena data, che riscriveremo in forma relativistica come:

$$S = \int d^4x {\cal L}\left(\phi_i,{\partial{\phi_i}\over \partial x^\mu}\right)$$ (5.4)

dove l'integrale si prende sul volume compreso fra due superfici space-like $t=t_1$ e $t=t_2$, ma può essere comunque essere definito anche più in generale. Questa definizione ci mostra anche che la densità di lagrangiana deve essere uno scalare invariante.

Adesso per trovare le equazioni del moto dovremo applicare il principio di Hamilton che dice che $\delta S$ è nullo per tutti gli spostamenti virtuali che lasciano invariati gli estremi; tali spostamenti però riguardano solo i campi $\phi_i$ (che sono gli equivalenti delle $q_i$ dei sistemi finiti) e non le coordinate spaziali che qui fungono da indici e che quindi, come il tempo nella meccanica analitica classica, resteranno costanti, per cui la variazione non può influire né sui limiti di integrazione rispetto al tempo, né sulla regione di integrazione spaziale, ma sarà data solo dalla variazione della densità di lagrangiana dovuta al variare dei campi.

Oltre a questo la condizione di variazione nulla sugli estremi significherà in questo caso le variazioni dei campi dovranno essere nulle sulla ipersuperficie (tridimensionale) che contorna l'ipervolume su cui si integra, cioè sia per $t=t_1$ e $t=t_2$ che all'infinito; sarà cioè:

$$\begin{cases}\delta \phi({\bf x},t_1) = \delta \phi({\bf x},t... ...},t)=0 \quad \hbox{se} \quad {\bf x} \to \infty \cr \end{cases}$$ (5.5)

fatte queste considerazioni possiamo passare a calcolarci la variazione dell'azione che sarà:

$$\delta S= \delta \int d^4x {\cal L} \left( \phi_i, \partial_\mu \... ...i \right)= \int d^4x \delta {\cal L} \left( \phi_i, \partial_\mu \phi_i \right)$$ (5.6)

per cui basta calcolarsi la variazione di $\cal L$; per snellire le formule introduciamo la notazione $\partial^\mu \phi_i = \phi_i ^\mu$, sarà allora:

$$\delta {\cal L} = \pd{\cal L},{\phi_i} \delta \phi_i + \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} \delta \phi_i ^\mu$$

dove per definizione:

$$\delta \phi_i ^\mu = \delta (\partial^\mu \phi_i) = \partial^\mu \delta \phi_i$$

e si è sottintesa la somma sugli indici ripetuti. Adesso con queste relazioni la (4.6) diventa:

$$\delta S = \int d^4x \left[ \pd{\cal L},{\phi_i} \delta \phi_i + \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} \partial^\mu \delta \phi_i \right]$$

adesso possiamo integrare per parti il secondo addendo, otterremo:

$$\int d^4x \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} \partial^\mu \delta \phi_i =... ...int d^4x \left[ \partial^\mu \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} \right] \delta \phi_i$$

ma le condizioni (4.5) di variazioni nulle agli estremi ci dicono che $\delta \phi_i = 0$ su $S$ dunque di questa resta solo il secondo termine che sostituito nella precedente ci da:

$$\delta S = \int d^4x \left[ \pd{\cal L},{\phi_i} - \left( \partial^\mu \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} \right) \right] \delta\phi_i$$

(si è raccolto $\delta\phi_i$) adesso $\delta S$ e tutti i $\delta\phi_i$ sono indipendenti ed arbitrari per cui per far si che sia nullo l'integrale deve essere nullo l'integrando e dunque si ottengono le equazioni:

$$\pd{\cal L},{\phi_i} - \partial^\mu \pd{\cal L},{\phi_i^\mu} = 0$$ (5.7)

che sono tante quanti sono i campi e ci danno la dinamica dei medesimi; anch'esse, come generalizzazione al caso con infiniti gradi di libertà, sono dette equazioni di Eulero-Lagrange, per i campi.

Si noti che se si aggiunge alla densità di lagrangiana (da qui in avanti per semplicità la chiameremo direttamente lagrangiana) la divergenza di una funzione qualsiasi dei campi:

$$\pd{},{x_\mu} f_\mu(\phi_i) = \pd{f_\mu},{\phi_i} \pd{\phi_i},{x_\mu} = \pd{f_\mu},{\phi_i} \phi_i^\mu$$

l'azione, per il teorema di Gauss, non varia, dunque anche le (4.7) sono invarianti, questo si può vedere direttamente se sostituiamo questa espressione a ${\cal L}$ nella (4.7) verificando che il risultato è identicamente nullo; infatti:

$$\pd{},{\phi_i} \left(\pd{f_\mu},{\phi_i} \phi_i^\mu \right) - \p... ...mu},{\phi_i} = \pd{^2},{\phi_i^2}\phi_i^\mu - \pd{^2},{\phi_i^2}\phi_i^\mu =0$$