La prescrizione di Feynmann

Quanto abbiamo appena visto ci dice che per come è messa la struttura dell'equazione di Dirac, la presenza delle soluzioni ad energia negativa unita all'ipotesi del mare di Dirac ci costringe a cambiare le condizioni al contorno che adesso non sono più, come nel caso classico, che esso sia nullo per tempi antecedenti per evitare problemi di causalità, ma che esso propaghi in avanti nel tempo solo soluzioni ad energia positiva, ed indietro nel tempo solo soluzioni ad energia negativa.

Adesso possiamo vedere come questa condizione (detta anche prescrizione di Feynmann) si esprime nel calcolo dell'espressione del propagatore libero che si effettua usando le trasformate di Fourier. Il punto di partenza è la (3.18), che essendo invariante per traslazione ci permette di considerare che $S(x';x)=S(x'-x)$ per cui potremo espanderlo con le trasformate di Fourier come funzione di $x_2-x_1$. Adesso per semplificare le equazioni introdurremo da qui in avanti le unità di misura naturali, le unità cioè per le quali vale $\hbar=c=1$; scriveremo così:

$$S(x_2-x_1)= \int {dp^4\over (2\pi)^4} S(p) e^{-ip(x_2-x_1)}$$ (4.20)

e dovremo ricordarci alla fine di rimettere tutti gli $\hbar$ ed i $c$ necessari per far tornare le dimensioni.

Adesso possiamo procedere come al paragrafo precedente usando la (3.18); otterremo l'equazione per il propagatore:

$$(i\s{\partial}_2-m)\int {dp^4\over (2\pi)^4} S(p) e^{-ip(x_2-x_1)}= i\int {dp^4\over (2\pi)^4}e^{-ip(x_2-x_1)}$$

che portando le derivate sotto l'integrale ci da:

$$\int {dp^4\over (2\pi)^4} (\s{p}-m) S(p) e^{-ip(x_2-x_1)}= i\int {dp^4\over (2\pi)^4}e^{-ip(x_2-x_1)}$$

da cui si ottiene l'equazione algebrica:

$$(\s{p}-m) S(p) =i\un$$

(si ricordi che ovviamente in questo caso $S(x_2-x_1)$ è una matrice $4\times 4$) adesso qui si può fare una divisione formale per $(\s{p}-m)$, intesa nel senso di moltiplicare per la matrice inversa, questa però è una matrice singolare, per vedere allora cosa viene fuori, senza stare a complicarsi la vita con l'inversione delle matrici, notiamo che se moltiplichiamo questa per $(\s{p}+m)$ si ha:

$$(\s{p}+m)(\s{p}-m) S(p) = (p^2-m^2)S(p) =i(\s{p}+m)$$

e adesso si può fare una semplice divisione numerica, ottenendo che, per $p^2\ne m^2$, si ha:

$$S(p)=i{(\s{p}+m)\over(p^2-m^2)}=i{(\s{p}+m)\over(p-m)(p+m)}$$

Adesso come prima occorre stabilire cosa succede per $p^2\to m^2$ assegnando le condizioni al contorno, solo che adesso i poli sono due e corrispondono ai due possibili valori dell'energia:

$$p_0=\omega=\pm\sqrt{{\bf p}^2+m^2}=\pm E$$

e se utilizziamo questa possiamo scrivere l'espressione della trasformata di Fourier in (3.20), spezzando ancora l'integrale, come:

$$\begin{aligned} S(x_2-x_1) &= i\int \d3p e^{i{\bf p}({\b... ...{p}+m)e^{-ip_0(t_2-t_1)} \over (p_0-E)(p_0+E)}\cr \end{aligned}$$

anche qui è possibile imporre che il propagatore propaghi solo in avanti nel tempo sostituendo a $p_0$ la quantità $p_0+i\epsilon$ in modo che entrambi i poli si spostino appena sotto l'asse reale e sopravviva solo la parte con $t_2 \ge t_1$; avremo così la funzione di Green ritardata per l'equazione di Dirac data da:

$$\begin{aligned} S^+(x_2-x_1) &= i \int \d3p e^{i{\bf p}(... ...^{-ip_0(t_2-t_1)} \over (p_0+i\epsilon)^2-E^2}\cr \end{aligned}$$

solo che stavolta per la fisica non ci interessa questa, quanto il propagatore di Feynmann $S_F(x_2-x_1)$ che propaga in avanti nel tempo le soluzioni ad energia positiva ed indietro quelle ad energia negativa; questo si può ottenere se aggiungiamo $i\epsilon$ al polo ad energia positiva e $-i\epsilon$ a quello ad energia negativa; prenderemo cioè:

$$S_F(x_2-x_1) = i \int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} \i... ... 2\pi} {(\s{p}+m) e^{-ip_0(t_2-t_1)} \over (p_0-E+i\epsilon)(p_0+E-i\epsilon)}$$

in questo caso si può verificare banalmente che il lemma di Jordan farà sopravvivere solo la parte ad energia positiva per $t_2 \ge t_1$ e quella ad energia negativa per $t_2<t_1$.

Per eseguire il calcolo conviene usare al posto di $S(x_2-x_1)$, che è una matrice, la funzione di Green $G(x_2-x_1)$ dell'equazione di Klein-Gordon definita da:

$$(\delamb+m^2)G(x_2-x_1) = -i\delta^4(x_2-x_1)$$ (4.21)

con questa è banale verificare che se prendiamo:

$$S(x_2-x_1)=(i\s{\partial}_2+m)G(x_2-x_1)$$ (4.22)

otteniamo una soluzione della (3.18); d'altra parte risolvendo la (3.21) con le trasformate di Fourier si ottiene l'equazione algebrica (basta eseguire i conti e semplificare un segno meno):

$$(p^2-m^2)G(p)=i$$

per cui poi ci si ritrova con una funzione con le stesse singolarità di $S(x_2-x_1)$, e che quindi possiamo trattare allo stesso modo, per cui potremo ottenere la soluzione con le corrette condizioni al contorno come:

$$G_F(x_2-x_1)= i\int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} \int {dp_0\over 2\pi} {e^{-ip_0(t_2-t_1)} \over (p_0-E+i\epsilon)(p_0+E-i\epsilon)}$$

Figure 3.4: I due cammini su cui si applica il Lemma di Jordan per il calcolo dell'integrale del propagatore con la prescrizione di Feynmann.

Adesso cominciamo col caso $t_2 \ge t_1$; in tal caso per usare il lemma di Jordan dovremo chiudere l'integrale con un semicerchio all'infinito per $\im p_0<0$ ed essendo in tal caso l'integrale sulla retta reale all'inverso rispetto al senso antiorario otterremo:

$$G_F(x_2-x_1) = \int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} \Re... ... \over (p_0-E+i\epsilon) (p_0+E-i\epsilon)} \quad \hbox{per} \quad t_2 \ge t_1$$

(si è semplificato un $1/2\pi$ nell'integrale col $-i2\pi$ che viene dal lemma di Jordan) adesso il calcolo del residuo è immediato:

$$\begin{aligned} \Res_{p_0=E-i\epsilon} {e^{-ip_0(t_2-t_1)... ...epsilon)} \cr &= {e^{-iE(t_2-t_1)} \over 2E} \cr \end{aligned}$$

per cui alla fine si ottiene che:

$$G_F(x_2-x_1)=\int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} {e^{-iE(t_2-t_1)} \over 2E} \qquad\hbox{per}\qquad t_2 \ge t_1$$

se poi consideriamo il caso $t_2<t_1$ dobbiamo chiudere l'integrale nel semipiano $\im p_0>0$, ed otterremo:

$$G_F(x_2-x_1) = - \int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} \R... ...t_1)} \over (p_0-E+i\epsilon)(p_0+E-i\epsilon)} \quad \hbox{per} \quad t_2<t_1$$

(il segno è opposto perché l'integrale sulla retta reale è nel senso giusto) ed il residuo stavolta è:

$$\begin{aligned} \Res_{p_0=-E+i\epsilon} {e^{-ip_0(t_2-t_1)}... ...E-i\epsilon)} \cr &= -{e^{iE(t_2-t_1)}\over 2E} \end{aligned}$$

per cui si ottiene che:

$$G_F(x_2-x_1) = \int \d3p e^{i{\bf p}({\bf x}_2-{\bf x}_1)} {e^{-iE(t_2-t_1)} \over 2E} \qquad\hbox{per}\qquad t_2 < t_1$$

per cui alla fine, unendo i due termini, si ha la definitiva:

$$G_F(x_2-x_1) = \int {d^3p\over 2E(2\pi)^3} e^{i{\bf p}({\bf x}_2... ...\left[ \theta(t_2-t_1)e^{-iE(t_2-t_1)}+ \theta(t_1-t_2)e^{iE(t_2-t_1)} \right]$$

che vale per tempi qualsiasi.

Si noti che questa espressione soddisfa le condizioni al contorno richieste, dato che per $t_2 \ge t_1$ si propagano solo energia positive, mentre per $t_2<t_1$ si propagano solo energia negative; si noti anche come nell'integrale compaia una misura invariante proporzionale (manca $m$) alla $d\tilde k$ già menzionata nel §2.4.4 in (2.112). Considerato questo l'espressione precedente può essere espressa in forma covariante a vista; infatti l'integrazione su $d^3p$ non cambia se mandiamo p in $-\bf p$, per cui se lo facciamo per il secondo addendo in parentesi quadra si ottiene:

$$\begin{aligned}G_F(x_2-x_1) &= \int {d^3p\over 2E(2\pi)^3} \l... ...-x_1)} +\theta(t_1-t_2)e^{ip(x_2-x_1)} \right]\cr \end{aligned}$$

che è covariante a vista.

Adesso possiamo passare a $S_F(x_2-x_1)$ usando l'espressione (3.23) di $G_F(x_2-x_1)$ appena trovata, e la relazione (3.22); si ottiene subito che:

$$\begin{aligned} S_F(x_2-x_1) &= (i\s{\partial}_2+m) G_F(x_... ...ta(t_1-t_2)(m-\s{p}) e^{ip(x_2-x_1)} \right]\cr \end{aligned}$$

che banalmente si può riscrivere come:

$$\begin{aligned} S_F(x_2-x_1) &= \int {d^3p\over(2\pi)^3}{2... ...t_1-t_2)\Lambda_-(p) e^{ip(x_2-x_1)} \right]\cr \end{aligned}$$

dove $\Lambda_+(p)$ e $\Lambda_-(p)$ sono i proiettori sugli stati ad energia positiva e negativa visti in (2.89) al §2.4.3; da questa, usando le espressioni alternative dei proiettori in termini degli spinori di (2.88), si ha:

$$\begin{aligned} S_F(x_2-x_1) = \int {d^3p\over(2\pi)^3} {m... ...bar v^{(\alpha)}(p) e^{ip(x_2-x_1)} \right] \cr \end{aligned}$$

che, usando le espressioni (2.110) per le autofunzioni normalizzate dell'equazione di Dirac libera, diventa subito:

$$\begin{aligned} S_F(x_2-x_1) = \theta(t_2-t_1) & \int d^... ...\alpha (x_2) {\bar\psi_p^{(-)}}{}^\alpha (x_1)\cr \end{aligned}$$

che è esattamente la forma della (3.19).