Urto e decadimento di particelle

Dalle precedenti relazioni cinematiche e dal principio di conservazione dell'energia-impulso (cioè di $p^\mu$) si possono ricavare delle caratteristiche generali della dinamica delle particelle (in particolare nei casi di urto e decadimento) anche se non è noto il tipo di interazione.

Per snellire la scrittura delle equazioni per il seguito di questo paragrafo useremo le cosiddette unità naturali, cioè misureremo tutto in termini di velocità della luce per cui nelle formule sarà $c=1$; il quadrimpulso diventerà $p^\mu=(E,{\bf p})$ e la relazione di Einstein (1.50) si potrà semplificare in $E^2=p^2+m^2$.

Cominciamo con il caso generale di urto di due particelle: non ci interessa la dinamica dell'urto, consideriamo solo due particelle incidenti di quadrimpulso $p_1 =(E_1,{\bf p}_1)$ e $p_2=(E_2,{\bf p}_2)$ e masse $m_1$ e $m_2$ e due particelle diffuse di impulso $p_3=(E_3,{\bf p}_3)$ e $p_4=(E_1,{\bf p}_4)$ e masse $m_3$ e $m_4$ e in generale sarà $m_1\ne m_2 \ne m_3\ne m_4$.

La conservazione del quadrimpulso, che è una legge assolutamente generale, ci dice che in ogni caso dovrà essere:

$$p_1 + p_2 = p_3 + p_4$$ (2.51)

con questa relazione si possono definire le tre variabili invarianti di Mandelstam:

$$\begin{eqnarray}s&=(p_1 +p_2)^2=(p_3 +p_4)^2\\ t&=(p_1 -p_3)^2=(p_4 -p_2)^2\\ u&=(p_1 -p_4)^2=(p_3 -p_2)^2 \end{eqnarray}<tex2html_comment_mark>22$$ (2.52a)

che sono molto utili. Questa definizione ci mostra che $s$, $t$ e $u$ non sono indipendenti, infatti consideriamo che:

$$\begin{aligned} s+t+u & = (p_1+p_2)^2 + (p_1-p_3)^2 + (p_1+p... ...+ p_3^2 + p_4^2) +2(p_1(p_1+p_2)-p_1(p_3+p_4))\cr \end{aligned}$$

e usando la (1.51) si ottiene:

$$s+t+u=p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2 = m_1+ m_2 + m_3 + m_4$$ (2.53)

Figure: Urto relativistico di due particelle, a sinistra sono mostrate le quantità nel sistema di laboratorio, a destra nel sistema del centro di massa.

Sono di particolare importanza nei calcoli relativistici due sistemi di riferimento particolari: quello del laboratorio (in cui si suppone il bersaglio fermo), nel quale vale $p_1 =(E_{\rm lab},{\bf p}_{\rm lab})$, $p_2=(m_2,0)$ e quello del centro di massa, in cui vale $p_1=(E_1,{\bf p}_{\rm cm})$ e $p_2=(E_2,-{\bf p}_{\rm cm})$ ed anche, per la conservazione del quadrimpulso, $p_3=(E_1,{\bf q})$ e $p_4=(E_1,-{\bf q})$ (vedi fig. 1.2).

La definizione precedente ci mostra subito che $\sqrt s$ è l'energia totale nel sistema del baricentro, dato che in esso è banalmente $p_1+p_2=(E_1+E_2,0)$; questa è molto importante, perché è l'energia disponibile per le reazioni; nel caso che si abbia a che fare con urti di un fascio su un bersaglio questa si può esprimere in termini dell'energia della particella incidente (cioè nel sistema di laboratorio); si ha infatti che:

$$s=(p_1 +p_2)^2=\vert(E_{\rm lab}+m_2,{\bf p}_{\rm lab})\vert^2= E_{\rm lab}^2+m_2^2+2m_2E_{\rm lab}-p_{\rm lab}^2$$

ma evidentemente $E_{\rm lab}^2-p_{\rm lab}^2=m_1^2$ per cui in definitiva si ottiene che:

$$E_{\rm cm}=\sqrt s=\sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2m_2E_{\rm lab}}$$ (2.54)

e questa ci dice che al crescere dell'energia del fascio l'energia disponibile nel centro di massa sale solo con la radice quadrata.

Un'altra relazione importante è quella che lega ${\bf p}_{\rm lab}$ a ${\bf p}_{\rm cm}$; per ottenerla consideriamo che siccome il prodotto scalare è invariante si ha:

$$p_1\cdot p_2= m_2 E_{\rm lab}=E_1 E_2 + p_{\rm cm}^2$$ (2.55)

ma si ha anche:

$$E_1^2 = p_{\rm cm}^2+ m_1^2 \qquad \hbox{e}\qquad E_2^2 = p_{\rm cm}^2+ m_2^2$$

per cui:

$$E_1^2 E_2^2=(p_{\rm cm}^2+ m_1^2)(p_{\rm cm}^2+ m_2^2)$$

allora quadrando la (1.55) dopo aver portato $p_{\rm cm}^2$ a primo membro, si ottiene che:

$$(m_2 E_{\rm lab} - p_{\rm cm}^2)^2 = (p_{\rm cm}^2 + m_1^2) (p_{\rm cm}^2 + m_2^2)$$

che sviluppata da:

$$p_{\rm cm}^4 + m_2^2 E_{\rm lab}^2 - 2 m_2 E_{\rm lab} p_{\rm cm}^2 = p_{\rm cm}^4 + m_1^2 m_2^2 + p_{\rm cm}^2 (m_1^2 + m_2^2)$$

e $p_{\rm cm}^4$ se ne va e questa diventa:

$$m_2^2 E_{\rm lab}^2-m_1^2 m_2^2=p_{\rm cm}^2(m_1^2+ m_2^2 + 2m_2 E_{\rm lab})$$

che per la (1.54) si identifica immediatamente in:

$$m_2^2 p_{\rm lab}^2=p_{\rm cm}^2 s$$

dunque alla fine si ottiene:

$${\bf p}_{\rm cm} = {m_2 {\bf p}_{\rm lab} \over \sqrt s}= {m_2 {\bf p}_{\rm lab} \over E_{\rm cm}}$$ (2.56)

Un caso particolare di grande interesse è poi quello dell'urto elastico, in cui cioè le particelle restano le stesse prima e dopo l'urto; si ha cioè che $m_1=m_3$ e $m_2=m_4$ e dunque $p_3^2=m_1^2$ e $p_4^2=m_2^2$.

La prima relazione interessante si ha quando si va a calcolare l'energia cinetica trasferita (cioè l'energia cinetica trasferita a $m_2$ nell'urto) che nel sistema del laboratorio è data banalmente da $\Delta E=E_4-m_2$; per farlo basta calcolare il valore della variabile di Mandelstam $t$ nel sistema del laboratorio, che con le notazioni adottate è:

$$t = p_4^2 + p_2^2 - 2 p_2 p_4 = m_2^2 + m_2^2 - 2 m_2 E'_4 = 2 m_2 (m_2 - E'_4) = -2 m_2 \Delta E$$

dunque si ottiene immediatamente che per gli urti elastici:

$$\Delta E = - {t\over 2m_2}$$ (2.57)

Una relazione fondamentale valida per gli urti elastici è che deve essere $p=q$; in un urto elastico cioè l'impulso nel sistema di laboratorio può solo cambiare direzione; questa si dimostra partendo dal fatto che, per come lo abbiamo definito, in un urto elastico si ha:

$$\begin{eqnarray}m_1^2 &= E_1^2 - p^2 = E_3^2 - q^2 \\ m_2^2 &= E_2^2 - p^2 = E_4^2 - q^2 \end{eqnarray}$$ (2.58a)

da queste, se moltiplichiamo il primo membro della prima col secondo della seconda e il primo della seconda col secondo della prima otteniamo che:

$$E_1^2E_4^2 - p^2E_4^2 -q^2E_1^2 +p^2q^2= E_2^2E_3^2 -p^2E_3^2 -q^2E_2^2 +p^2q^2$$

da cui semplificando $p^2q^2$ e raccogliendo si ha:

$$E_1^2E_4^2+ p^2(E_3^2-E_4^2)=E_2^2E_3^2 + q^2(E_1^2-E_2^2)$$ (2.59)

se poi calcoliamo $u$ otteniamo che:

$$u=p_1^2+p_4^2-2p_1p_4=p_2^2+p_3^2-2p_3p_2$$

che banalmente diventa:

$$p_1 p_4 = E_1 E_4 + pq \cos{\theta} = p_2 p_3 = E_2 E_3 + pq \cos{\theta}$$

(dove $\theta$ è l'angolo fra $\mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$ nel sistema del centro di massa) per cui in definitiva si ha che:

$$E_1 E_4 = E_2 E_3$$ (2.60)

allora si vede subito che nella (1.59) i primi termini di entrambi i membri si semplificano e resta:

$$p^2 (E_3^2-E_4^2) = q^2 (E_1^2-E_2^2)$$ (2.61)

adesso però consideriamo che dalla conservazione dell'energia segue che $E_1-E_4=E_3-E_2$; questa al quadrato ci da:

$$E_1^2+E_4^2-2E_1E_4 = E_2^2+E_3^2 -2E_2E_3$$

che usando ancora la (1.60) si semplifica in:

$$E_1^2+E_4^2 = E_2^2+E_3^2\quad\hbox{cioè}\quad E_3^2-E_4^2=E_1^2-E_2^2$$

che sostituita nella (1.61) ci permette di ottenere alla fine $p^2=q^2$ e cioè quanto volevamo.

A questo punto se usiamo la (1.57) possiamo trovare un'altra espressione più utile per $\Delta E$; infatti se ci calcoliamo $t$ nel sistema del centro di massa otteniamo che:

$$\Delta E=-{1\over 2m_2}[m_1^2 +m_1^2-2(E_1E_3-pq\cos{\theta})]$$

ma per quanto abbiamo visto $p=q$ e quindi anche $E_1=E_3$; dunque questa si può riscrivere come:

$$\Delta E=-{1\over 2m_2}[2m_1^2 -2(E_1^2-p^2\cos{\theta})]= -{1\over 2m_2}[2m_1^2 - 2(m_1^2+p^2-p^2\cos{\theta})]$$

e quindi alla fine si ha:

$$\Delta E = {p^2 (1-\cos{\theta}) \over m_2}$$ (2.62)

e se usiamo (1.56), considerando che in questo caso si ha che $p = p_{\rm cm}$, otteniamo che:

$$\Delta E = {m_2 p_{\rm lab}^2 (1-\cos{\theta}) \over s}= {m_2 p_{\rm lab}^2 (1-\cos{\theta}) \over E^2_{\rm tot}}$$

che è particolarmente utile perché permette di trovare il massimo dell'energia cinetica trasferibile in un urto elastico come:

$$\Delta E_{\rm max}={2 m_2 p_{\rm lab}^2\over E^2_{\rm tot}}$$ (2.63)