La quadrivelocità

Non si può definire la velocità come $dx^\mu/dt$ perché $dt$ non è invariante, e questo non sarebbe un quadrivettore; dobbiamo seguire allora un'altra strada. Conosciamo però un invariante fondamentale che è l'elemento di linea:

$$ds^2=c^2dt^2-d{\bf r}^2$$

per cui è possibile definire un quadrivettore:

$$u^\mu={{dx^\mu}\over ds}$$

ma questa non ha le dimensioni giuste; notiamo allora che:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - d{\bf r}^2 = c^2 dt^2 \left( {1 - {1\over c^2... ...bf r}\over dt} \right)^2} \right) = c^2 dt^2 \left( 1 - {v^2\over c^2} \right)$$

da cui segue immediatamente che:

$$ds = c dt \sqrt{1 - \beta^2}$$

e da questa si vede subito, dato che $ds$ e $c$ sono invarianti, che se definiamo:

$$d\tau = dt \sqrt{1 - \beta^2} = {1\over \gamma} dt$$ (2.34)

si ottiene un invariante con le dimensioni di un tempo. Più precisamente si può notare che questo è il tempo che segna l'orologio solidale con una particella in moto (nel sistema solidale $v = 0$ e quindi $d\tau = dt$) ed è per questo chiamato tempo proprio.

Si noti che in un qualsiasi sistema di riferimento $S$ un certo intervallo di tempo proprio $t_2 - t_1$ verrà misurato integrando l'inversa della (1.34), cioè sarà:

$$t_2 - t_1 = \int^{\tau_2}_{\tau_1} {d\tau\over \sqrt{1-\beta(\tau)}} = \int^{\tau_2}_{\tau_1}\gamma(\tau) d\tau$$

e questa ci mostra l'effetto noto come dilatazione del tempo, infatti per una particella in moto a velocità costante si ha la relazione $t=\gamma \tau$.

Con il tempo proprio possiamo definire un quadrivettore con le dimensioni corrispondenti a quelle di una velocità, che chiameremo appunto quadrivelocità:

$$v^\mu={{dx^\mu}\over d\tau} \quad(=cu^\mu)$$ (2.35)

e se usiamo la (1.34) otteniamo subito che:

$$v^\mu = \big( {c dt \over{ dt \sqrt{1 - \beta^2}}}, {d{\bf r}\over{dt \sqrt{1 - \beta^2}}} \big) = (\gamma c, \gamma {\bf v})$$ (2.36)

e si vede subito che, contrariamente a $d\mathbf{r}$, $\mathbf{v}$ non è la parte spaziale di un quadrivettore, mentre lo è $\gamma \mathbf{v}$, per cui non è affatto immediata l'identificazione di $v^\mu$ come una velocità ordinaria.