Teorema della divergenza e correnti conservate

Vogliamo infine dimostrare un utile teorema, conseguenza diretta del teorema della divergenza; sia $A^\mu$ un vettore a divergenza nulla; cioè:

$${\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu} = 0$$ (2.31)

e tale che $A^\mu\to 0$ per ${\bf x}\to\infty$; il teorema afferma che in tal caso la quantità:

$$\int A^0 d^3 x =\int A^0 dV$$

è uno scalare costante nel tempo.

La dimostrazione si fa col teorema di Gauss, che in uno spazio di Minkowsky, può essere espresso come:

$$\int_\Omega d^4x {\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu}=\int_\Sigma A^\mu \eta_\mu(x)d\sigma(x)$$ (2.32)

dove $\Omega$ è un volume quadridimensionale qualsiasi e $\Sigma$ è la superficie che lo racchiude (che è uno spazio a tre dimensioni).

Adesso prendiamo come ipervolume $\Omega$ quello compreso fra due ipersuperfici a $x_0= t$ costante e pari a $t_1$ e $t_2$ (vedi 1.1), per tali superfici, con la convenzione di normale esterna si ha:

$$\eta_1^\mu=(1,{\bf0})\quad\hbox{e}\quad \eta_2^\mu=(-1,{\bf0})$$

(e si noti che i corrispondenti versori covarianti sono uguali a questi perché la parte spaziale è nulla), mentre $d\sigma(x)=dV$ e l'integrale su $\Sigma$ si estende a tutto lo spazio ordinario; così la (1.32) ci da:

$$\int_\Omega d^4x {\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu}= \int A^0(t_2) dV-\int A^0(t_1) dV$$

dato che l'integrale sulla parte all'infinito che chiude le due ipersuperfici a $t_1$ e $t_2$ si annulla poiché $A^\mu\to 0$ per ${\bf x}\to\infty$. Adesso il primo termine di questa è a sua volta è nullo per la (1.31), e quindi alla fine si ottiene che:

$$\int_{t_1} A^0 dV=\int_{t_2} A^0 dV$$

e fata l'arbitrarietà di $t_1$ e $t_2$ questo integrale è lo stesso a qualunque tempo lo si calcoli.

Ma se consideriamo una qualunque trasformazione di Lorentz applicata a questo integrale, tutto quello che essa potrà variare, dato che la dipendenza dalle coordinate spaziali sparisce integrando su tutto lo spazio, è il valore del tempo, ma abbiamo appena visto che il valore dell'integrale è sempre lo stesso quindi, come volevasi dimostrare, abbiamo un invariante.

Figure 1.1: Proiezione sugli assi $t$ e $x$ delle due quadrisuperfici a $t$ costante e pari a $t_1$ e $t_2$.

Il risultato dimostrato per un quadrivettore si può generalizzare in maniera semplice nel caso di divergenze nulle di tensori di qualunque ordine; consideriamo ad esempio che sia:

$$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$$ (2.33)

in tal caso otterremo che la quantità conservata è il quadrivettore:

$$p^\mu=\int T^{0\mu}dV$$

Questo lo possiamo dimostrare sfruttando il risultato precedente; prendiamo un qualunque quadrivettore costante $c_\nu$ e definiamo $B^\mu=c_\nu T^{\mu\nu}$, dalla (1.33) si ottiene subito che:

$${\partial{B^\mu}\over \partial x^\mu}={\partial{}\over \partial x^\mu}(c_\nu T^{\mu\nu})= c_\nu{\partial{T^{\mu\nu}}\over \partial x^\mu}=0$$

per cui per quanto visto prima:

$$\int_{t_1} B^0 dV=c_\nu\int T^{0\nu}dV$$

è un invariante, quindi per le proprietà di trasformazione di $c_\nu$ si ottiene quanto volevamo. Si noti anche che, dato che $c_\nu$ è un quadrivettore costante, deve esserlo pure $p^\mu$. L'estensione ad ordini superiori è identica.