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Teorema della divergenza e correnti conservate

Vogliamo infine dimostrare un utile teorema, conseguenza diretta del teorema della divergenza; sia $ A^\mu$ un vettore a divergenza nulla; cioè:

$\displaystyle {\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu} = 0$ (2.31)

e tale che $ A^\mu\to 0$ per $ {\bf x}\to\infty$; il teorema afferma che in tal caso la quantità:

$\displaystyle \int A^0 d^3 x =\int A^0 dV
$

è uno scalare costante nel tempo.

La dimostrazione si fa col teorema di Gauss, che in uno spazio di Minkowsky, può essere espresso come:

$\displaystyle \int_\Omega d^4x {\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu}=\int_\Sigma A^\mu \eta_\mu(x)d\sigma(x)$ (2.32)

dove $ \Omega$ è un volume quadridimensionale qualsiasi e $ \Sigma$ è la superficie che lo racchiude (che è uno spazio a tre dimensioni).

Adesso prendiamo come ipervolume $ \Omega$ quello compreso fra due ipersuperfici a $ x_0= t$ costante e pari a $ t_1$ e $ t_2$ (vedi 1.1), per tali superfici, con la convenzione di normale esterna si ha:

$\displaystyle \eta_1^\mu=(1,{\bf0})\quad\hbox{e}\quad \eta_2^\mu=(-1,{\bf0})
$

(e si noti che i corrispondenti versori covarianti sono uguali a questi perché la parte spaziale è nulla), mentre $ d\sigma(x)=dV$ e l'integrale su $ \Sigma$ si estende a tutto lo spazio ordinario; così la (1.32) ci da:

$\displaystyle \int_\Omega d^4x {\partial{A^\mu}\over \partial x^\mu}=
\int A^0(t_2) dV-\int A^0(t_1) dV
$

dato che l'integrale sulla parte all'infinito che chiude le due ipersuperfici a $ t_1$ e $ t_2$ si annulla poiché $ A^\mu\to 0$ per $ {\bf x}\to\infty$. Adesso il primo termine di questa è a sua volta è nullo per la (1.31), e quindi alla fine si ottiene che:

$\displaystyle \int_{t_1} A^0 dV=\int_{t_2} A^0 dV
$

e fata l'arbitrarietà di $ t_1$ e $ t_2$ questo integrale è lo stesso a qualunque tempo lo si calcoli.

Ma se consideriamo una qualunque trasformazione di Lorentz applicata a questo integrale, tutto quello che essa potrà variare, dato che la dipendenza dalle coordinate spaziali sparisce integrando su tutto lo spazio, è il valore del tempo, ma abbiamo appena visto che il valore dell'integrale è sempre lo stesso quindi, come volevasi dimostrare, abbiamo un invariante.

Figure 1.1: Proiezione sugli assi $ t$ e $ x$ delle due quadrisuperfici a $ t$ costante e pari a $ t_1$ e $ t_2$.
\includegraphics[width=13cm]{fig_1_2}

Il risultato dimostrato per un quadrivettore si può generalizzare in maniera semplice nel caso di divergenze nulle di tensori di qualunque ordine; consideriamo ad esempio che sia:

$\displaystyle \partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ (2.33)

in tal caso otterremo che la quantità conservata è il quadrivettore:

$\displaystyle p^\mu=\int T^{0\mu}dV
$

Questo lo possiamo dimostrare sfruttando il risultato precedente; prendiamo un qualunque quadrivettore costante $ c_\nu$ e definiamo $ B^\mu=c_\nu T^{\mu\nu}$, dalla (1.33) si ottiene subito che:

$\displaystyle {\partial{B^\mu}\over \partial x^\mu}={\partial{}\over \partial x^\mu}(c_\nu T^{\mu\nu})=
c_\nu{\partial{T^{\mu\nu}}\over \partial x^\mu}=0
$

per cui per quanto visto prima:

$\displaystyle \int_{t_1} B^0 dV=c_\nu\int T^{0\nu}dV
$

è un invariante, quindi per le proprietà di trasformazione di $ c_\nu$ si ottiene quanto volevamo. Si noti anche che, dato che $ c_\nu$ è un quadrivettore costante, deve esserlo pure $ p^\mu$. L'estensione ad ordini superiori è identica.


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Simone Piccardi 2003-02-20