Inconsistenze dell'equazione di Dirac

Visto tutto questo possiamo mostrare esplicitamente le inconsistenze che emergono nell'uso dell'equazione di Dirac qualora si imponga, come si riteneva di poter fare in un primo tempo, di utilizzare solo gli spinori ad energia positiva, e pacchetti d'onde composti solo da quest'ultimi. Se questo è il caso la corrente totale associata con una qualunque soluzione ad energia positiva $\psi^{(+)}(x)$ è data da:

$${\bf J}^{(+)} = \int d^3x \, {\bf j}(x) = c\int d^3x\, \bar \psi^{(+)}(x) \boldsymbol{\gamma} \psi^{(+)}(x)$$

questa riscritta in termini degli spinori è:

$${\bf J}^{(+)} = \int d^3x \int {d^3p d^3p'\over(2\pi\hbar)^6} {m^... ...'-p) x}\,\, \bar u^{(\alpha)}(p) \boldsymbol{\gamma} u^{(\alpha')}(p') \right]$$

qui al solito si integra su $d^3 x$ per avere la delta e su $d^3p$ per mandarla via e resta:

$${\bf J}^{(+)} = \int d^3x \int {d^3p\over(2\pi\hbar)^3} {m^2c^4\o... ...alpha) b(p,\alpha') \bar u^{(\alpha)}(p) \boldsymbol{\gamma} u^{(\alpha')}(p)$$

adesso per l'ultimo fattore possiamo sfruttare quanto ricavato dall'identità di Gordon ottenendo che:

$$\begin{aligned} {\bf J}^{(+)} &= \int d^3x \int {d^3p\over(... ... \vert b(p,\alpha')\vert^2 {c{\bf p}\over E} \cr \end{aligned}$$

adesso teniamo conto che, considerando $\vert b(p,\alpha')\vert^2$ come la densità di probabilità della soluzione di onda piana, la media è:

$$\left\langle \phantom{\int}\cdot\phantom{\int}\right\rangle^+_p =... ...bar)^3} {m^2c^4\over E^2} (\cdot) \sum_{\alpha=1}^2 \vert b(p,\alpha')\vert^2$$

dove con questa notazione si è voluta intendere la media sul quadrimpulso $p$ e sulle soluzioni ad energia positiva; così nel nostro caso quello che si ottiene è che:

$${\bf J}^{(+)} = \left\langle {c{\bf p}\over E}\right\rangle^+ = \left\langle {\bf v}\right\rangle^+$$

e quindi la corrente totale per la sovrapposizione di soluzioni ad energia positiva è proprio la velocità di gruppo. Questo è perfettamente coerente con la teoria di Schroedinger, quello che non torna è l'assunzione di poter descrivere pacchetti d'onda con la sovrapposizione di sole soluzioni ad energia positiva. Per vederlo meglio consideriamo l'evoluzione temporale di un pacchetto dato al tempo $t=0$ da una distribuzione di Gauss di larghezza a mezza altezza $d$ (che grosso modo rappresenta una particella localizzata entro un volume sferico di raggio $d$); sia cioè:

$$\psi(0,{\bf x}) = \left( 1\over \pi d^2 \right)^{3/4} e^{-\half{{\bf x}^2\over d^2}} u^{(1)}(mc,0)$$

questa, espressa in termini della (2.111) per $t=0$, ci dà:

$$\begin{aligned} \left( {1\over \pi d^2} \right)^{3/4} &e^{-... ...bf p}\cdot {\bf x}} v^{(\alpha)}(p) \right] \cr \end{aligned}$$

adesso per determinare i coefficienti moltiplichiamo per $e^{-\ih {\bf p'}\cdot {\bf x}}$ ed integriamo su $d^3 x$ si ha:

$$\begin{aligned} \int {d^3 x} & \, e^{-\ih {\bf p}\cdot {\bf ... ...p+p'})\cdot {\bf x}} v^{(\alpha)}(p) \right]\cr \end{aligned}$$

adesso però un noto teorema delle trasformate di Fourier ci dice che:

$$\int {d^3 x}\, e^{-\ih {\bf p}\cdot {\bf x}} e^{-\half{{\bf x}^2\over d^2}} = (2\pi d^2)^{3/2} e^{-\half{{\bf p}^2d^2\over \hbar^2}}$$

per il secondo membro poi possiamo ottenere le solite delta di Dirac, ed eliminarle attraverso l'integrazione su $d^3p$; alla fine quello che resta della precedente è:

$$(4\pi d^2)^{3/4} e^{-\half{{\bf p}^2d^2\over \hbar^2}} u^{(1)}(mc... ...p,\alpha) u^{(\alpha)}(p) + d^*(\tilde p,\beta) v^{(\alpha)}(\tilde p) \right]$$

adesso queste si trattano usando la (2.105) e la analoga per $v$ si ottiene:

$$\begin{aligned} b(p,\alpha)&=(4\pi d^2)^{3/4} e^{-\half{{\b... ...^2}} {v^{(\alpha)}}^\dagger(p) u^{(1)}(mc,0) \cr \end{aligned}$$

e da queste si vede subito che se si vuole parlare di particella localizzata sono necessarie anche le soluzioni ad energia negativa; se consideriamo poi il rapporto $b/d^*$ si ottiene subito che (i conti sono banali):

$${b(p,\alpha)\over d^*(p,\beta)}={\left( mc^2 +E\right)\over c\vert{\bf p}\vert}$$

da cui si vede che $d^*$ diventa rilevante quando $\vert{\bf p}\vert$ cresce fino a diventare dell'ordine di $mc$; questo ci dice che se il pacchetto d'onde è sparpagliato su una distanza $d\gg \hbar/mc$ (la lunghezza d'onda Compton della particella) l'esponenziale fa si che i termini con $\vert{\bf p}\vert\simeq mc$ siano fortemente depressi e le soluzioni ad energia negativa siano trascurabili; ma se si vuole localizzare la particella su una regione della stessa dimensione della sua lunghezza d'onda Compton, cioè con $d\leq\hbar/mc$ allora l'esponenziale non serve più a deprimere le soluzioni ad energia negativa, che invece diventano importanti; a questo punto allora la teoria di particella singola viene meno e ci ritrova con le solite grane.

Un altro paradosso legato alle soluzioni ad energia negativa si ritrova nel calcolo della corrente totale; non potendo fare a meno di escluderle dall'espressione di un pacchetto d'onde dovremo scriverla in generale come:

$$\begin{aligned} {\bf J}(t) = c \int d^3x \int {d^3p d^3p'\... ...{(\alpha')}(p') e^{\ih p' x} \right) \bigg] \cr \end{aligned}$$

qui si opera come nel caso precedente; si integra su $d^3 x$ per ottenere $\delta^3({\bf p}+{\bf p'})$ nei termini misti e le $\delta^3({\bf p}-{\bf p'})$ per gli altri; queste si eliminano reintegrando su $d^3p'$; in ogni caso si otterrà $E'=E$, mentre per i termini misti sarà $p'=\tilde p$ e negli altri $p'=p$: per questi ultimi poi potremo procedere come nel caso precedente usando le opportune identità di Gordon per cui alla fine si ottiene:

$$\begin{aligned} &{\bf J}(t)=c\int {d^3p\over(2\pi\hbar)^3} ... ...{\gamma} u^{(\alpha')}(\tilde p) \right] \bigg\} \end{aligned}$$

e adesso questa dipende dal tempo con un termine oscillante dato dagli esponenziali ad una frequenza elevatissima che è:

$${2E\over \hbar}>{2mc\over \hbar}\sim 2\times 10^{21} \hbox{sec}^{-1}$$